Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 311 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 27 Корневая сумма. Большая теорема Жордана 311
Перейдем к новому базису в этой сумме по следующим формулам
пересчета:
h
1
=
1
2
(g
1
+ g
1
); h
2
=
1
2i
(g
1
− g
1
);
h
3
=
1
2
(g
2
+ g
2
); h
4
=
1
2i
(g
2
− g
2
); ... ;
h
2k−1
=
1
2
(g
k
+ g
k
); h
2k
=
1
2i
(g
k
− g
k
). (27.41)
Вектор h
1
есть не что иное, как действительная часть векто-
ра g
1
, а вектор h
2
— его мнимая часть: h
1
= Re(g
1
); h
2
= Im(g
1
);
и т. д. Можно выписать обратные выражения:
g
1
= h
1
+ ih
2
; g
2
+ h
3
+ h
4
; ... ; g
k
= h
2k −1
+ ih
2k
(27.42)
и сопряженные к ним.
Новые векторы h
1
, h
2
, ... , h
2k
будут образовывать новый базис в
прямой сумме Z ⊕ Z, причем — действительный, т. е. принадлежа-
щий вещественному подпространству V . Вычислим (2k×2k)-блок R,
отвечающий в этом базисе сужению оператора ϕ на Z ⊕ Z. Имеем:
ϕ(h
1
) =
1
2
(ϕ(g
1
) + ϕ(g
1
)) =
=
1
2
(λ
p
g
1
+ λ
p
g
1
) =
1
2
(λ
p
g
1
+ λ
p
g
1
) = Re(λ
p
g
1
) =
= Re ((α
p
+ iβ
p
)(h
1
+ ih
2
)) = α
p
h
1
− β
p
h
2
и, аналогично,
ϕ(h
2
) = β
p
h
1
+ α
p
h
2
.
Далее,
ϕ(h
3
) =
1
2
(ϕ(g
2
) + ϕ(g
2
)) =
=
1
2
(λ
p
g
2
+ g
1
+ λ
p
g
2
+ g
1
) = h
1
+
1
2
(λ
p
g
2
+ λ
p
g
2
) =
= h
1
+ Re(λ
p
g
2
) = h
1
+ Re ((α
p
+ iβ
p
)(h
3
+ ih
4
)) =
= h
1
+ α
p
h
3
− β
p
h
4
и, аналогично,
ϕ(h
4
) = h
2
+ β
p
h
3
+ α
p
h
4
.
§ 27         Корневая сумма. Большая теорема Жордана                       311

  Перейдем к новому базису в этой сумме по следующим формулам
пересчета:
         1                   1
  h1 =     (g1 + g1 ); h2 = (g1 − g1 );
         2                   2i
                         1               1
                  h3 = (g2 + g2 ); h4 = (g2 − g2 ); ... ;
                         2               2i
                                 1                 1
                          h2k−1 = (gk + gk ); h2k = (gk − gk ).         (27.41)
                                 2                 2i
   Вектор h1 есть не что иное, как действительная часть векто-
ра g1 , а вектор h2 — его мнимая часть: h1 = Re(g1 ); h2 = Im(g1 );
и т. д. Можно выписать обратные выражения:


       g1 = h1 + ih2 ; g2 + h3 + h4 ; ... ; gk = h2k−1 + ih2k           (27.42)

и сопряженные к ним.
   Новые векторы h1 , h2 , ... , h2k будут образовывать новый базис в
прямой сумме Z ⊕ Z, причем — действительный, т. е. принадлежа-
щий вещественному подпространству V . Вычислим (2k×2k)-блок R,
отвечающий в этом базисе сужению оператора ϕ на Z ⊕ Z. Имеем:
             1
  ϕ(h1 ) =     (ϕ(g1 ) + ϕ(g1 )) =
             2
                1                  1
             = (λp g1 + λp g1 ) = (λp g1 + λp g1 ) = Re(λp g1 ) =
                2                  2
                              = Re ((αp + iβp )(h1 + ih2 )) = αp h1 − βp h2

и, аналогично,
                           ϕ(h2 ) = βp h1 + αp h2 .
   Далее,
           1
  ϕ(h3 ) =   (ϕ(g2 ) + ϕ(g2 )) =
           2
            1                                 1
          = (λp g2 + g1 + λp g2 + g1 ) = h1 + (λp g2 + λp g2 ) =
            2                                 2
          = h1 + Re(λp g2 ) = h1 + Re ((αp + iβp )(h3 + ih4 )) =
                                                         = h1 + αp h3 − βp h4

и, аналогично,
                         ϕ(h4 ) = h2 + βp h3 + αp h4 .

Страницы