Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 309 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 27 Корневая сумма. Большая теорема Жордана 309
— недействительные комплексные корни λ
p
= α
p
+ iβ
p
, кратно-
сти m
p
, каждый из которых встречается в паре с комплексно со-
пряженным корнем λ
p
= α
p
− iβ
p
, такой же кратности (β
p
6= 0;
p = s + 1, ... , s + t).
Сумма всех кратностей равна степени многочлена (в данном слу-
чае — размерности n):
m
1
+ ... + m
s
+ 2(m
s+1
+ ... + m
s+t
) = n.
Каждому действительному λ
p
отвечает в ж.н.ф. действительный
"большой" блок J
p
, с жордановыми ящиками вида J
k
(λ
p
) на диа-
гонали (p = 1, ... , s).
Каждой паре комплексно сопряженных корней λ
p
, λ
p
в матрице
J отвечает пара "больших" блоков, J
p
и J
p
, где черта над матрицей
указывает на то, что ко всем элементам этой матрицы применяется
комплексное сопряжение. Ящики в первом блоке имеют вид J
k
(λ
p
) ,
а во втором — вид J
k
(λ
p
) , где p = s + 1, ... , s + t.
"Ящичное" строение блока J
p
определяется итерированными ран-
гами
r
(k)
p
= rank(B
p
); B
p
= A − λ
p
E (27.35)
(или, что равносильно, — соответствующими дефектами).
Сопряженному корню λ
p
соответствует матрица
B
p
= A − λ
p
E, (27.36)
имеющая, как легко доказать, те же итерированные ранги (27.35).
Значит, "ящичное" строение блока J
p
в точности совпадает со стро-
ением J
p
.
Более того, вектор z = x+iy ∈ V
C
принадлежит k-му итерирован-
ному ядру оператора χ − λ
p
ε, связанного с собственным значением
λ
p
= α
p
+ iβ
p
, тогда и только тогда, когда комплексно сопряжен-
ный вектор z = x − iy принадлежит k-му ядру оператора χ − λ
p
ε,
связанного с λ
p
= α
p
− iβ
p
.
В самом деле, для k = 1 это доказывается следующей выкладкой:
(χ − λ
p
ε)(z) =
= χ(z) − λ
p
z = ϕ(x) − iϕ(y) − (α
p
− iβ
p
)(x − iy) =
= ϕ(x) + iϕ(y) − (α
p
+ iβ
p
)(x + iy) = χ(z) − λ
p
z =
= (χ − λ
p
ε)(z);
§ 27      Корневая сумма. Большая теорема Жордана                 309

   — недействительные комплексные корни λp = αp + iβp , кратно-
сти mp , каждый из которых встречается в паре с комплексно со-
пряженным корнем λp = αp − iβp , такой же кратности (βp 6= 0;
p = s + 1, ... , s + t).
   Сумма всех кратностей равна степени многочлена (в данном слу-
чае — размерности n):
              m1 + ... + ms + 2(ms+1 + ... + ms+t ) = n.
  Каждому действительному λp отвечает в ж.н.ф. действительный
"большой" блок Jp , с жордановыми ящиками вида Jk (λp ) на диа-
гонали (p = 1, ... , s).
  Каждой паре комплексно сопряженных корней λp , λp в матрице
J отвечает пара "больших" блоков, Jp и Jp , где черта над матрицей
указывает на то, что ко всем элементам этой матрицы применяется
комплексное сопряжение. Ящики в первом блоке имеют вид Jk (λp ) ,
а во втором — вид Jk (λp ) , где p = s + 1, ... , s + t.
   "Ящичное" строение блока Jp определяется итерированными ран-
гами
                 rp(k) = rank(Bp ); Bp = A − λp E        (27.35)
(или, что равносильно, — соответствующими дефектами).
  Сопряженному корню λp соответствует матрица
                           Bp = A − λp E,                       (27.36)
имеющая, как легко доказать, те же итерированные ранги (27.35).
Значит, "ящичное" строение блока Jp в точности совпадает со стро-
ением Jp .
  Более того, вектор z = x+iy ∈ V C принадлежит k-му итерирован-
ному ядру оператора χ − λp ε, связанного с собственным значением
λp = αp + iβp , тогда и только тогда, когда комплексно сопряжен-
ный вектор z = x − iy принадлежит k-му ядру оператора χ − λp ε,
связанного с λp = αp − iβp .
  В самом деле, для k = 1 это доказывается следующей выкладкой:
  (χ − λp ε)(z) =
         = χ(z) − λp z = ϕ(x) − iϕ(y) − (αp − iβp )(x − iy) =
         = ϕ(x) + iϕ(y) − (αp + iβp )(x + iy) = χ(z) − λp z =
                                                    = (χ − λp ε)(z);

Страницы