Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 313 стр.

§ 28        Алгоритм построения жорданова базиса             313

   Каждый из блоков последнего типа, в свою очередь, имеет блочно-
треугольную структуру, причем диагональные блоки треугольными
не являются: оказывается частично заполненной первая "поддиаго-
наль".
   Матрицы, все элементы которых, расположенные ниже первой
поддиагонали, равны нулю, принято называть (см. например [26])
верхними хессенберговыми; они играют заметную роль в некоторых
вопросах вычислительной линейной алгебры.
   Вспомним теперь, что в действительном базисе матрицы эндомор-
физмов ϕ и χ одинаковы, так что JR отвечает в базисе H исходному
л.э. ϕ. Эта хессенбергова матрица называется обобщенной жордано-
вой нормальной формой для действительной матрицы A. Матрицы
A и JR вещественно подобны.



   § 28. Алгоритм построения жорданова базиса
             для линейного эндоморфизма

 28.1. Обзор ранее изученных алгоритмов спектральной
теории л.э. В текущей главе нами уже изучены четыре алгорит-
ма (с номерами 18.1, 21.1, 25.1 и 26.1), каждый из которых можно
рассматривать как определенное звено в структуре итогового слож-
ного алгоритма, к рассмотрению которого мы приступаем здесь.
  Напомним некоторые детали, связанные с описанием "входных
данных" и постановкой задачи.
  В n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) выбран ба-
зис B, позволяющий арифметизировать V . Линейный эндоморфизм
ϕ ∈ L(V ) задан своей (n × n)-матрицей A относительно базиса B.
  Работа алгоритма 18.1 начинается с вычисления характеристиче-
ского многочлена
                        hϕ (λ) = det(λE − A)

и его корней, т. е. собственных значений, или — элементов спектра

                      σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs },

вместе с соответствующими кратностями mi (i = 1, ... , s).
  (Спектр л.э. должен быть непустым, иначе этот и последующие
алгоритмы ничего не дают.)