Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 314 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

314 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Далее для каждого из λ
i
находится соответствующее собственное
подпространство
W
i
= S
λ
i
(ϕ);
оно представляется как линейная оболочка столбцов фундаменталь-
ной матрицы F
i
для с.л.у. B
i
x = 0, где
B
i
= A − λ
i
E.
Наряду со списком алгебраических кратностей m
i
, рассматрива-
ется список размерностей n
i
= dim(W
i
), т. е. геометрических крат-
ностей для собственных значений λ
i
. Вычисляются суммы m
0
и n
0
тех и других кратностей.
Алгоритм 21.2 служит продолжением алгоритма 18.1.
В случае n
0
= n он позволяет (объединив все фундаментальные
матрицы F
i
) получить в пространстве диагонализирующий базис
для л.э. ϕ.
Если n
0
< n, то выдается некий "суррогат" — частично диагона-
лизирующий базис в собственной сумме
S(ϕ) = W
0
=
s
M
i=1
W
i
.
Алгоритм 25.1 позволяет построить в стабильном ядре (необрати-
мого) л.э. ϕ так называемый жорданов базис G
0
, в котором сужение
на стабильное ядро данного л.э. имеет блочно-диагональную матри-
цу J
0
, с нильпотентными жордановыми ящиками на диагонали.
Дли описания жорданова базиса составляется столбчатая диа-
грамма D
0
, параметры которой однозначно определяются по итери-
рованным дефектам d
(k )
= dfc(A
k
); k = 1, 2, ... l, где l — показатель
стабилизации для л.э. ϕ. В свою очередь, по диаграмме D
0
опреде-
ляется блочная структура (d
(l)
× d
(l)
)-матрицы J
0
.
(Все это проиллюстрировано диаграммами 25.1 и 25.2 и подробно
прокомментировано в приложении 3.)
Алгоритм 26.1 работает (при каждом фиксированном i = 1, ... , s)
как "специализация" алгоритма 25.1 применительно к л.э.
ψ
i
= ϕ − λ
i
ε,
действие которого в исходном базисе B определяется матрицей B
i
.
Показатель стабилизации l
i
для ψ
i
находится как наиеменьшее из
натуральных чисел k таких, что итерированный дефект
d
(k )
i
= dfc(B
k
i
)
314     Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

  Далее для каждого из λi находится соответствующее собственное
подпространство
                          Wi = Sλi (ϕ);
оно представляется как линейная оболочка столбцов фундаменталь-
ной матрицы Fi для с.л.у. Bi x = 0, где
                           Bi = A − λi E.
   Наряду со списком алгебраических кратностей mi , рассматрива-
ется список размерностей ni = dim(Wi ), т. е. геометрических крат-
ностей для собственных значений λi . Вычисляются суммы m0 и n0
тех и других кратностей.
   Алгоритм 21.2 служит продолжением алгоритма 18.1.
   В случае n0 = n он позволяет (объединив все фундаментальные
матрицы Fi ) получить в пространстве диагонализирующий базис
для л.э. ϕ.
   Если n0 < n, то выдается некий "суррогат" — частично диагона-
лизирующий базис в собственной сумме
                                         s
                                         M
                                     0
                        S(ϕ) = W =             Wi .
                                         i=1

   Алгоритм 25.1 позволяет построить в стабильном ядре (необрати-
мого) л.э. ϕ так называемый жорданов базис G0 , в котором сужение
на стабильное ядро данного л.э. имеет блочно-диагональную матри-
цу J0 , с нильпотентными жордановыми ящиками на диагонали.
   Дли описания жорданова базиса составляется столбчатая диа-
грамма D0 , параметры которой однозначно определяются по итери-
рованным дефектам d(k) = dfc(Ak ); k = 1, 2, ... l, где l — показатель
стабилизации для л.э. ϕ. В свою очередь, по диаграмме D0 опреде-
ляется блочная структура (d(l) × d(l) )-матрицы J0 .
   (Все это проиллюстрировано диаграммами 25.1 и 25.2 и подробно
прокомментировано в приложении 3.)
   Алгоритм 26.1 работает (при каждом фиксированном i = 1, ... , s)
как "специализация" алгоритма 25.1 применительно к л.э.
                            ψi = ϕ − λi ε,
действие которого в исходном базисе B определяется матрицей Bi .
Показатель стабилизации li для ψi находится как наиеменьшее из
натуральных чисел k таких, что итерированный дефект
                             (k)
                           di      = dfc(Bik )

Страницы