Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 316 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

316 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
1.2. Если m
0
< n, то жорданов базис G
0
существует лишь в m
0
-
мерном подпространстве U
0
< V ; он может быть продолжен до ча-
стично жорданова базиса в V .
2
i
. Для каждого i = 1, ..., s вычисляем матрицу B
i
, отвечающую
л.э. ψ
i
= ϕ − λ
i
ε, и, с помощью алгоритма 26.1, находим снача-
ла "необработанные" базисы во всех итерированных ядрах для ψ
i
,
начиная с первого и кончая стабильным, а также — их размерно-
сти (итерированные дефекты); сигналом о наступлении стабилиза-
ции служит равенство очередного итерированного дефекта и алгеб-
раической кратности m
i
. Далее производится определение парамет-
ров столбчатой диаграммы D
i
, вычисление "большого" (m
i
× m
i
)-
блока J
i
(блочно-диагонального, с жордановыми ящиками J
k
(λ
i
)
по диагонали), обработка базисов и представление искомого жорда-
нова базиса G
i
(в корневом пространстве U
i
) (n × m
i
)-матрицей G
i
.
3. Формируем (n ×m
0
)-матрицу
G
0
= (G
1
|G
2
| ... |G
s
) , (28.2)
содержащую жорданов базис в корневой сумме U
0
, а также (m
0
×m
0
)-
матрицу
J
0
= diag(J
1
, J
2
, ... , J
s
) (28.3)
(см. диагр. 27.1 в прил. 3), отвечающую сужению л.э. ϕ на U
0
.
4. Формируем матрицу перехода от исходного базиса к жордано-
ву (или частично жорданову) базису, а также ж.н.ф. (или частичную
ж.н.ф.) для л.э. ϕ.
4.1. Если m
0
= n, то (n × n)-матрица G = G
0
содержит жорданов
базис для ϕ во всем пространстве V, а (такого же размера) матрица
J = J
0
является жордановой нормальной формой для матрицы A.
Матрицу G можно считать матрицей перехода от исходного (при
арифметизации отождествленного с естественным) базиса в V к жор-
данову базису. Формула G · J = A · J и условие det(G) 6= 0 могут
служить для проверки правильности вычислений.
4.2. Если m
0
< n, то матрица G
0
будет содержать базис в корневой
сумме U
0
= Q (ϕ). С помощью алгоритма 10.4 он продолжается до
базиса во всем пространстве. При этом добавляются m
00
= n − m
0
векторов, составляющие базис в некотором прямом дополнении U
00
к подпространству U
0
. Матрица K размера n ×m
00
, содержащая эти
316    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

  1.2. Если m0 < n, то жорданов базис G 0 существует лишь в m0 -
мерном подпространстве U 0 < V ; он может быть продолжен до ча-
стично жорданова базиса в V .
   2i . Для каждого i = 1, ..., s вычисляем матрицу Bi , отвечающую
л.э. ψi = ϕ − λi ε, и, с помощью алгоритма 26.1, находим снача-
ла "необработанные" базисы во всех итерированных ядрах для ψi ,
начиная с первого и кончая стабильным, а также — их размерно-
сти (итерированные дефекты); сигналом о наступлении стабилиза-
ции служит равенство очередного итерированного дефекта и алгеб-
раической кратности mi . Далее производится определение парамет-
ров столбчатой диаграммы Di , вычисление "большого" (mi × mi )-
блока Ji (блочно-диагонального, с жордановыми ящиками Jk (λi )
по диагонали), обработка базисов и представление искомого жорда-
нова базиса Gi (в корневом пространстве Ui ) (n × mi )-матрицей Gi .
  3. Формируем (n × m0 )-матрицу

                      G0 = (G1 | G2 | ... | Gs ) ,            (28.2)

содержащую жорданов базис в корневой сумме U 0 , а также (m0 ×m0 )-
матрицу
                   J 0 = diag(J1 , J2 , ... , Js )           (28.3)

(см. диагр. 27.1 в прил. 3), отвечающую сужению л.э. ϕ на U 0 .
   4. Формируем матрицу перехода от исходного базиса к жордано-
ву (или частично жорданову) базису, а также ж.н.ф. (или частичную
ж.н.ф.) для л.э. ϕ.
   4.1. Если m0 = n, то (n × n)-матрица G = G0 содержит жорданов
базис для ϕ во всем пространстве V, а (такого же размера) матрица
J = J 0 является жордановой нормальной формой для матрицы A.
   Матрицу G можно считать матрицей перехода от исходного (при
арифметизации отождествленного с естественным) базиса в V к жор-
данову базису. Формула G · J = A · J и условие det(G) 6= 0 могут
служить для проверки правильности вычислений.
   4.2. Если m0 < n, то матрица G0 будет содержать базис в корневой
сумме U 0 = Q(ϕ). С помощью алгоритма 10.4 он продолжается до
базиса во всем пространстве. При этом добавляются m00 = n − m0
векторов, составляющие базис в некотором прямом дополнении U 00
к подпространству U 0 . Матрица K размера n × m00 , содержащая эти

Страницы