Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 318 стр.

318    Спектральная теория линейных эндоморфизмов            Гл. 3

   С нашими алгоритмами обречена на неудачу любая попытка рас-
смотрения приближенных значений для корней характристического
многочлена. В самом деле, "приближенный корень" λ0 многочлена
hA (λ) = det(λE − A) доставляет этому многочлену (хотя и малое,
но — ненулевое) значение hA (λ0 ) = det(λ0 E − A). При этом мат-
рица B0 = A − λ0 E оказывается невырожденной и, следовательно,
ее ядро Ker(B0 ) — тривиальным. Собственное подпространство не
поддается определению.
   Что же делать физикам, инженерам и другим людям, работаю-
щим с заведомо приближенными данными? Для их нужд применя-
ется совсем другая, очень сложная наука — методы вычислений.
В вычислительной линейной алгебре (и, в частности, в вычисли-
тельной спектральной теории линейных операторов) изобретаются
принципиально иные (не алгебраические) алгоритмы, позволяющие
приближенно (с достаточной точностью) описать "спектральные ха-
рактеристики" операторов.



  28.3. Типовой расчет по теме "Жорданов базис для ли-
нейного эндоморфизма". Приступаем к описанию индивидуаль-
ного задания (ТР2 — типовой расчет № 2) на применение алгорит-
ма 28.1 построения жорданова (или, по крайней мере, частично жор-
данова) базиса для линейного эндоморфизма.
  Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве V (над полем P )
линейный эндоморфизм ϕ ∈ L(V ) Зафиксировав в пространстве V
некоторый базис B, отождествляем V с арифметическим линейным
пространством P n (B отождествляется с En ). При этом л.э. ϕ отож-
дествляется со своей арифметизацией Φ ∈ L(P n ); его действие опре-
деляется квадратной матрицей A ∈ L(n, P ).
  Конкретизируем основное поле: в качестве P в типовом расчете
будет фигурировать поле рациональных чисел P = Q (как уже отме-
чалось, алгоритм сохраняет практическую работоспособность и над
некоторыми расширениями этого поля, и над конечными полями,
однако в данном расчете эти версии не понадобятся).
  Далее, вычислив наименьший общий знаменатель β всех элемен-
тов матрицы A ∈ Mat(n, Q), мы, с помощью вынесения за знак мат-
рицы числа 1/β, можем, очевидно, свести задачу к исследованию
целочисленной матрицы βA. Поэтому достаточно отработать алго-
ритм на целочисленных матрицах.