Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 320 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

320 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
И с х о д н ы е д а н н ы е
к д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:
n = 8; A :=
−9 −5 −3 0 −8 −3 −7 13
1 0 2 1 2 −1 2 −3
−6 −6 −5 1 −9 −4 −5 12
0 1 0 −1 1 −1 1 0
−1 −1 −1 0 −3 0 −1 2
1 1 1 1 1 −3 2 −2
1 0 1 0 0 0 −1 −2
−6 −5 −2 1 −8 −4 −5 9
.
Р е ш е н и е д е м о н с т р а ц и о н н о г о в а р и а н т а
1. Вычисляем характеристический многочлен:
h
ϕ
(λ) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
λ+9 5 3 0 8 3 7 −13
−1 λ −2 −1 −2 1 −2 3
6 6 λ+5 −1 9 4 5 −12
0 −1 0 λ+1 −1 1 −1 0
1 1 1 0 λ+3 0 1 −2
−1 −1 −1 −1 −1 λ+3 −2 2
−1 0 −1 0 0 0 λ+1 2
6 5 2 −1 8 4 5 λ−9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= λ
8
+ 13λ
7
+ 70λ
6
+ 196λ
5
+ 280λ
4
+ 112λ
3
− 224λ
2
− 320λ − 128.
Именно этот этап является наиболее трудоемким при ручных вы-
числениях. Для матриц порядка n > 6 "ручное" вычисление ха-
рактеристического многочлена может стать непосильной задачей.
Но мы заинтересованы именно в таких размерностях, поэтому при-
ходится рекомендовать студентам обязательное обращение к Maple
(подробности см. в п. 28.4).
Далее, с помощью алгоритма из § 42 пособия [A
1
], проводим от-
бор целых характеристических корней и определение их кратностей.
Тот факт, что характеристический многочлен является нормализо-
ванным гарантирует целочисленность его рациональных корней. Ис-
кать их следует среди делителей свободного члена.
И этот этап может потребовать достаточно громоздких (но все
же вполне преодолимых "вручную") вычислений. Вам предлагается
320    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                   Гл. 3

Исходные данные
к д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:

                                                              
                    −9     −5   −3  0 −8        −3       −7 13
                   1       0    2  1  2        −1        2 −3 
                                                              
                   −6     −6   −5  1 −9        −4       −5 12 
                                                              
                   0       1    0 −1  1        −1        1  0
      n = 8; A :=                                             .
                   −1     −1   −1  0 −3         0       −1  2
                                                              
                   1       1    1  1  1        −3        2 −2 
                                                              
                     1      0    1  0  0         0       −1 −2
                    −6     −5   −2  1 −8        −4       −5  9


Решение демонстрационного варианта

  1. Вычисляем характеристический многочлен:
               ¯                                               ¯
               ¯ λ+9 5   3    0   8    3     7             −13 ¯
               ¯                                               ¯
               ¯ −1  λ  −2   −1   −2   1    −2              3 ¯
               ¯                                               ¯
               ¯ 6   6  λ+5  −1   9    4     5             −12 ¯
               ¯                                               ¯
               ¯ 0   −1  0  λ+1   −1   1    −1              0 ¯
      hϕ (λ) = ¯                                               ¯=
               ¯ 1   1   1    0  λ+3   0     1             −2 ¯
               ¯                                               ¯
               ¯ −1 −1 −1 −1 −1 λ+3 −2                      2 ¯
               ¯                                               ¯
               ¯ −1  0  −1    0   0    0   λ+1              2 ¯
               ¯                                               ¯
                  6    5    2    −1    8    4        5     λ−9


 = λ8 + 13λ7 + 70λ6 + 196λ5 + 280λ4 + 112λ3 − 224λ2 − 320λ − 128.
   Именно этот этап является наиболее трудоемким при ручных вы-
числениях. Для матриц порядка n > 6 "ручное" вычисление ха-
рактеристического многочлена может стать непосильной задачей.
Но мы заинтересованы именно в таких размерностях, поэтому при-
ходится рекомендовать студентам обязательное обращение к Maple
(подробности см. в п. 28.4).
   Далее, с помощью алгоритма из § 42 пособия [A1 ], проводим от-
бор целых характеристических корней и определение их кратностей.
Тот факт, что характеристический многочлен является нормализо-
ванным гарантирует целочисленность его рациональных корней. Ис-
кать их следует среди делителей свободного члена.
   И этот этап может потребовать достаточно громоздких (но все
же вполне преодолимых "вручную") вычислений. Вам предлагается

Страницы