Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 321 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 28 Алгоритм построения жорданова базиса 321
провести их подробно, с привлечением "многоступенчатой" схемы
Горнера. (Разумеется, не повредит Maple-проверка.)
В демонстрационном варианте свободный член равен −2
6
. Поэто-
му проверке подлежат числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16; ±32; ±64. Провер-
ка не продлится долго: корни λ
1
= 1 (кратности m
1
= 1) и λ
2
= −2
(кратности m
2
= 7) обнаруживаются на первых же ее шагах.
Спектр л.э. состоит из двух точек σ(ϕ) = {1, −2}; сумма алгебра-
ических кратностей собственных значений m
0
= 8 совпадает с раз-
мерностью пространства. Поэтому во всем пространстве V = Q
8
существует жорданов базис для ϕ.
2
1
.1. Первому (однократному) собственному значению отвечает
одномерное собственное (оно же — корневое) подпространство U
1
.
Для отыскания базиса в U
1
находим нуль-пространство матрицы
B
1
= A − λ
1
E = A − E, т. е., решая однородную с.л.у. B
1
· x = 0,
вычисляем фундаментальную матрицу F
(1)
1
. Здесь "обработка бази-
сов" не понадобится, так что G
1
= F
(1)
1
, и мы получаем описание:
U
1
= R
G
1
, где G
1
= (g
1
) состоит из единственного столбца.
Результаты счета:
B
1
=
−10 −5 −3 0 −8 −3 −7 13
1 −1 2 1 2 −1 2 −3
−6 −6 −6 1 −9 −4 −5 12
0 1 0 −2 1 −1 1 0
−1 −1 −1 0 −4 0 −1 2
1 1 1 1 1 −4 2 −2
1 0 1 0 0 0 −2 −2
−6 −5 −2 1 −8 −4 −5 8
→ ... →
→
1 0 0 0 0 0 0 −1
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 −1
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
; G
1
= F
(1)
1
=
1
0
1
0
0
0
0
1
.
2
1
.2. С целью обеспечения единства оформления, нарисуем "од-
ноклеточную" столбчатую диаграмму:
g
1
D
1
: ↓
0
,
§ 28          Алгоритм построения жорданова базиса                              321

провести их подробно, с привлечением "многоступенчатой" схемы
Горнера. (Разумеется, не повредит Maple-проверка.)
  В демонстрационном варианте свободный член равен −26 . Поэто-
му проверке подлежат числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16; ±32; ±64. Провер-
ка не продлится долго: корни λ1 = 1 (кратности m1 = 1) и λ2 = −2
(кратности m2 = 7) обнаруживаются на первых же ее шагах.
  Спектр л.э. состоит из двух точек σ(ϕ) = {1, −2}; сумма алгебра-
ических кратностей собственных значений m0 = 8 совпадает с раз-
мерностью пространства. Поэтому во всем пространстве V = Q8
существует жорданов базис для ϕ.
   21 .1. Первому (однократному) собственному значению отвечает
одномерное собственное (оно же — корневое) подпространство U1 .
   Для отыскания базиса в U1 находим нуль-пространство матрицы
B1 = A − λ1 E = A − E, т. е., решая однородную с.л.у. B1 · x = 0,
                                            (1)
вычисляем фундаментальную матрицу F1 . Здесь "обработка бази-
                                        (1)
сов" не понадобится, так что G1 = F1 , и мы получаем описание:
U1 = RG1 , где G1 = (g1 ) состоит из единственного столбца.
   Результаты счета:
                                                 
                  −10       −5   −3       0    −8   −3      −7   13
                  1        −1   2        1    2    −1      2    −3 
                                                                   
                 −6        −6   −6       1    −9   −4      −5   12 
                                                                   
                  0        1    0        −2   1    −1      1    0 
       B1 =                                                         → ... →
                 −1        −1   −1       0    −4       0   −1   2 
                                                                   
                  1        1    1        1    1    −4      2    −2 
                                                                   
                   1        0    1        0    0        0   −2   −2
                  −6        −5   −2       1    −8   −4      −5   8
                                                                         
                                                                       1
              1   0     0    0   0    0    0   −1
                                                                 0
         0       1     0    0   0    0    0   0                 
                                                               1
         0       0     1    0   0    0    0   −1                
                                                         (1)   0
       → 0       0     0    1   0    0    0   0  ; G1 = F1   =  .
                                                               0
         0       0     0    0   1    0    0   0                 
                                                               0
              0   0     0    0   0    1    0   0                  
                                                                         0
              0   0     0    0   0    0    1   0
                                                                         1
  21 .2. С целью обеспечения единства оформления, нарисуем "од-
ноклеточную" столбчатую диаграмму:
                                   g1
                           D1 :    ↓ ,
                                   0

Страницы