Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 319 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 28 Алгоритм построения жорданова базиса 319
О б щ е е у с л о в и е
т и п о в о г о р а с ч е т а п о т е м е
"Ж о р д а н о в б а з и с
д л я л и н е й н о г о э н д о м о р ф и з м а"
В линейном пространстве V = Q
n
задан линейный эндоморфизм
ϕ : V −→ V ; ϕ(x) = A · x,
где A — (целочисленная) квадратная матрица размера n × n.
Требуется
— вычислить спектр σ(ϕ) и сумму m
0
алгебраических кратностей
всех собственных значений для л.э. ϕ; в случае пустоты спектра
(m
0
= 0) сделать заключение об отсутствии у ϕ (даже частично)
жорданова базиса и остановить вычисления;
— в случае 0 < m
0
6 n найти корневую сумму U
0
= Q(ϕ) для
данного л.э. (являющуюся m
0
-мерным линейным подпространством
в V ) и жорданов базис G
0
в ней; последний представить записанным
в матрицу G
0
размера m
0
× n;
— вычислить квадратную матрицу J
0
размера m
0
× m
0
, отвечаю-
щую сужению
ϕ
0
= ϕ
¯
¯
U
0
: U
0
−→ U
0
в базисе G
0
;
— если m
0
= n, то выдать заключение о том, что во всем простран-
стве V существует жорданов базис G = G
0
[записанный в (n × n)-
матрицу G = G
0
], в котором л.э. ϕ соответствует матрица J = J
0
,
имеющая ж.н.ф.; выполнить проверки: G · J = A · G и det(G) 6= 0;
— если 0 < m
0
< n, то выдать заключение о том, что не су-
ществует жорданова базиса для ϕ в пространстве V ; базис G
0
в U
0
продолжить до базиса T во всем пространстве (частично жордано-
ва базиса для ϕ), записав его в (n × n)-матрицу T ; вычислить по
формуле
A
0
= T
−1
· A · T
матрицу, отвечающую ϕ в базисе T (частично жорданову форму
матрицы A); выполнить проверку: det(T ) должен быть ненулевым;
северо-западный (m
0
×m
0
)-блок матрицы A
0
должен совпадать с J
0
.
§ 28             Алгоритм построения жорданова базиса          319

                        Общее условие
                типового расчета по теме
                      "Ж о р д а н о в б а з и с
            д л я л и н е й н о г о э н д о м о р ф и з м а"

   В линейном пространстве V = Qn задан линейный эндоморфизм

                        ϕ : V −→ V ; ϕ(x) = A · x,

где A — (целочисленная) квадратная матрица размера n × n.
   Требуется
   — вычислить спектр σ(ϕ) и сумму m0 алгебраических кратностей
всех собственных значений для л.э. ϕ; в случае пустоты спектра
(m0 = 0) сделать заключение об отсутствии у ϕ (даже частично)
жорданова базиса и остановить вычисления;
   — в случае 0 < m0 6 n найти корневую сумму U 0 = Q(ϕ) для
данного л.э. (являющуюся m0 -мерным линейным подпространством
в V ) и жорданов базис G 0 в ней; последний представить записанным
в матрицу G0 размера m0 × n;
  — вычислить квадратную матрицу J 0 размера m0 × m0 , отвечаю-
щую сужению
                          ¯
                    ϕ0 = ϕ¯U 0 : U 0 −→ U 0

в базисе G 0 ;
   — если m0 = n, то выдать заключение о том, что во всем простран-
стве V существует жорданов базис G = G 0 [записанный в (n × n)-
матрицу G = G0 ], в котором л.э. ϕ соответствует матрица J = J 0 ,
имеющая ж.н.ф.; выполнить проверки: G · J = A · G и det(G) 6= 0;
  — если 0 < m0 < n, то выдать заключение о том, что не су-
ществует жорданова базиса для ϕ в пространстве V ; базис G 0 в U 0
продолжить до базиса T во всем пространстве (частично жордано-
ва базиса для ϕ), записав его в (n × n)-матрицу T ; вычислить по
формуле
                         A0 = T −1 · A · T

матрицу, отвечающую ϕ в базисе T (частично жорданову форму
матрицы A); выполнить проверку: det(T ) должен быть ненулевым;
северо-западный (m0 × m0 )-блок матрицы A0 должен совпадать с J 0 .

Страницы