Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 317 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 28 Алгоритм построения жорданова базиса 317
векторы, приписывается справа к матрице G
0
. Квадратная (n × n)-
матрица
T = (G
0
|K) (28.4)
содержит частично жорданов базис в V, в котором оператору ϕ
будет соответствовать частично жорданова (блочно-треугольная с
жордановым северо-западным блоком) матрица
A
0
= T
−1
AT =
J
1
O . . . O C
0
1
O J
2
. . . O C
0
2
. . . . . . . . . . . . . . .
O O . . . J
s
C
0
s
O O . . . O C
00
, (28.5)
с (m
i
× m
00
)-блоками C
0
i
(i = 1, ... , s) и (m
00
× m
00
)-блоком C
00
.
Замечание 28.1.
∗
Характерной особенностью описанного выше ал-
горитма (как и четырех предыдущих) является то, что он рассчитан
на абсолютно точные вычисления.
Практически это означает, что если мы работаем с числами, то
вынуждены оставаться в пределах поля рациональных чисел Q.
Алгоритм будет работать и в других полях, если в них удается
организовать точное вычисление характеристических корней, рангов
матриц и т. д.
Это можно сделать, например,
— в некоторых полях алгебраических чисел, таких как поле рацио-
нальных гауссовых чисел Q[i], или (более общее) поле Q[
√
d], которое
состоит из комплексных чисел вида z = a + b
√
d; a, b ∈ Q (где d —
фиксированное бесквадратное целое число);
— в конечных полях F
q
(q = p
n
— примарное число, т. е. нату-
ральная степень простого натурального числа), элементы которого
допускают представление в виде многочленов над простым полем F
p
(классов вычетов по модулю p), с выполнением алгебраических дей-
ствий по модулю некоторого неприводимого многочлена степени n
над F
p
.
Разумеется, все это требует применения достаточно сложной ал-
гебраической техники и далеко выходит за рамки нашего курса. Ни-
же, во всех вычислительных примерах линейные пространства и ли-
нейные эндоморфизмы будут рассматриваться над Q.
§ 28           Алгоритм построения жорданова базиса                        317

векторы, приписывается справа к матрице G0 . Квадратная (n × n)-
матрица
                         T = (G 0 |K)                     (28.4)

содержит частично жорданов базис в V, в котором оператору ϕ
будет соответствовать частично жорданова (блочно-треугольная с
жордановым северо-западным блоком) матрица
                                                              
                                     J1   O   ...   O   C10
                                                         
                           O J2 . . . O C 0 
                                                      2
                0   −1                                   
               A = T AT =  . . . . . . . . . . . . . . .  ,             (28.5)
                                                         
                                                       0 
                           O O . . . Js Cs 
                                     O    O   ...   O   C 00

с (mi × m00 )-блоками Ci0 (i = 1, ... , s) и (m00 × m00 )-блоком C 00 .
   Замечание 28.1.∗ Характерной особенностью описанного выше ал-
горитма (как и четырех предыдущих) является то, что он рассчитан
на абсолютно точные вычисления.
   Практически это означает, что если мы работаем с числами, то
вынуждены оставаться в пределах поля рациональных чисел Q.
   Алгоритм будет работать и в других полях, если в них удается
организовать точное вычисление характеристических корней, рангов
матриц и т. д.
   Это можно сделать, например,
   — в некоторых полях алгебраических чисел, таких как√поле рацио-
нальных гауссовых чисел Q[i], или (более общее)
                                              √поле Q[ d], которое
состоит из комплексных чисел вида z = a + b d; a, b ∈ Q (где d —
фиксированное бесквадратное целое число);
   — в конечных полях Fq (q = pn — примарное число, т. е. нату-
ральная степень простого натурального числа), элементы которого
допускают представление в виде многочленов над простым полем Fp
(классов вычетов по модулю p), с выполнением алгебраических дей-
ствий по модулю некоторого неприводимого многочлена степени n
над Fp .
   Разумеется, все это требует применения достаточно сложной ал-
гебраической техники и далеко выходит за рамки нашего курса. Ни-
же, во всех вычислительных примерах линейные пространства и ли-
нейные эндоморфизмы будут рассматриваться над Q.

Страницы