Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 315 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 28 Алгоритм построения жорданова базиса 315
равен алгебраической кратности m
i
. Стабильный дефект
d
(l
i
)
i
= m
i
равен размерности стабильного ядра для ψ
i
, т. е. — корневого под-
пространства
U
i
= Q
λ
i
(ϕ).
На выходе алгоритма получается жорданов базис G
i
в подпро-
странстве U
i
, представляемый столбцами (n × m
i
)-матрицы G
i
, а
также (m
i
× m
i
)-матрица J
i
, отвечающая в этом базисе сужению
на U
i
данного л.э. ϕ. Эта матрица является блочно-диагональной;
на ее диагонали располагаются (в порядке, определяемом по столб-
чатой диаграмме D
i
) жордановы ящики вида J
k
(λ
i
) , где 1 6 k 6 l
i
.
Количество ящиков заданного размера определяется по так называ-
емым абсолютным вторым приращениям итерированных дефектов.
Общее количество ящиков (всех возможных размеров) оказывается
равным геометрической кратности n
i
.
(В приложении 3 приведены и прокомментированы диаграммы
26.1 и 26.2, иллюстрирующие многочисленные детали или особые
ситуации, возникающие при работе алгоритма.)
Описываемый в следующем пункте алгоритм 28.1 является "сбор-
кой" всех вспомогательных алгоритмов, обзор которых только что
был дан. Основные понятия и обозначения, упоминавшиеся в этом
обзоре, ниже используются без дополнительных комментариев.
28.2. Алгоритм построения (частично) жорданова базиса
для л.э.
А л г о р и т м 28. 1.
Исследование вопроса о существовании
жорданова базиса для л.э.
Отыскание (частично) жорданова базиса
1. С помощью алгоритма 18.1 вычисляем характеристический
многочлен h
ϕ
(λ), спектр σ(ϕ) = {λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
}, список алгебраиче-
ских кратностей m
i
(i = 1, ... , s) и их сумму m
0
.
1.1. Если m
0
= n, то констатируем, что жорданов базис G для
эндоморфизма ϕ существует во всем пространстве V , совпадающем
при указанном условии с корневой суммой
Q(ϕ) = U
0
=
s
M
i=1
U
i
. (28.1)
§ 28          Алгоритм построения жорданова базиса                   315

равен алгебраической кратности mi . Стабильный дефект
                                 (l )
                               di i = mi
равен размерности стабильного ядра для ψi , т. е. — корневого под-
пространства
                         Ui = Qλi (ϕ).
   На выходе алгоритма получается жорданов базис Gi в подпро-
странстве Ui , представляемый столбцами (n × mi )-матрицы Gi , а
также (mi × mi )-матрица Ji , отвечающая в этом базисе сужению
на Ui данного л.э. ϕ. Эта матрица является блочно-диагональной;
на ее диагонали располагаются (в порядке, определяемом по столб-
чатой диаграмме Di ) жордановы ящики вида Jk (λi ) , где 1 6 k 6 li .
Количество ящиков заданного размера определяется по так называ-
емым абсолютным вторым приращениям итерированных дефектов.
Общее количество ящиков (всех возможных размеров) оказывается
равным геометрической кратности ni .
   (В приложении 3 приведены и прокомментированы диаграммы
26.1 и 26.2, иллюстрирующие многочисленные детали или особые
ситуации, возникающие при работе алгоритма.)
   Описываемый в следующем пункте алгоритм 28.1 является "сбор-
кой" всех вспомогательных алгоритмов, обзор которых только что
был дан. Основные понятия и обозначения, упоминавшиеся в этом
обзоре, ниже используются без дополнительных комментариев.
  28.2. Алгоритм построения (частично) жорданова базиса
для л.э.

А л г о р и т м 28. 1.
Исследование вопроса о существовании
жорданова базиса для л.э.
Отыскание (частично) жорданова базиса

  1. С помощью алгоритма 18.1 вычисляем характеристический
многочлен hϕ (λ), спектр σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }, список алгебраиче-
ских кратностей mi (i = 1, ... , s) и их сумму m0 .
  1.1. Если m0 = n, то констатируем, что жорданов базис G для
эндоморфизма ϕ существует во всем пространстве V , совпадающем
при указанном условии с корневой суммой
                                        M s
                                     0
                        Q(ϕ) = U =          Ui .                    (28.1)
                                        i=1

Страницы