Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 306 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

306 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Предположим теперь, что пространство V является конечномер-
ным и dim
R
(V ) = n (в обозначении уточнено, что размерность вы-
числяется над полем R). Пусть, далее, в пространстве V выбран
базис
B = [b
1
, b
2
, ... , b
n
]. (27.27)
Размерность прямой суммы (27.22) над полем R равняется 2n ,
причем в качестве базиса в ней можно выбрать с.в.
C = [b
1
, b
2
, ... , b
n
, ib
1
, ib
2
, ... , ib
n
] (27.28)
(используются описанные выше отождествления).
Если ту же прямую сумму (27.22) рассматривать над полем C, то
с.в. (27.27) останется базисом после ее вложения V
C
. В самом деле,
произвольный вектор z = x + iy ∈ V
C
представляется в виде:
z =
n
X
k=1
α
k
b
k
+ i
n
X
k =1
β
k
b
k
=
n
X
k=1
(α
k
+ iβ
k
)b
k
=
n
X
k=1
λ
k
b
k
,
где коэффициенты α
k
, β
k
∈ R; λ
k
= α
k
+ β
k
∈ C (k = 1, ... , n).
Получается, что пространство V
C
имеет над полем C такую же
размерность n, как исходное пространство V над R :
dim
C
(V
C
) = dim
R
(V ). (27.29)
Базис вида (27.27) в комплексификации V
C
будем называть дей-
ствительным базисом этого (вещественно-комплексного) простран-
ства.
Переходим к описанию "встречной" конструкции превращения
комплексного линейного пространства в действительное. Она значи-
тельно проще в идейном отношении: всякое линейное пространство
над более широким полем P
2
(P
2
⊃ P
1
) может, очевидно, рассматри-
ваться над более узким полем P
1
.
В частности, всякое комплексное пространство V можно рассмат-
ривать как действительное, и тогда для него используется обозначе-
ние V
R
и вводится термин овеществление комплексного простран-
ства V.
Размерность (над R) пространства V
R
вдвое больше размерности
(над C) пространства V, причем, имея базис B = [b
1
, b
2
, ... , b
n
] в ис-
ходном пространстве, мы можем в качестве базиса для овеществлен-
ного пространства взять с.в. C = [b
1
, b
2
, ... , b
n
, ib
1
, ib
2
, ... , ib
n
]. (Лю-
бопытное обстоятельство: идентичные в записи формулы использо-
вались выше, при описании комплексификации, но здесь логика их
построения — в некотором смысле противоположная.)
306      Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                          Гл. 3

  Предположим теперь, что пространство V является конечномер-
ным и dimR (V ) = n (в обозначении уточнено, что размерность вы-
числяется над полем R). Пусть, далее, в пространстве V выбран
базис
                         B = [b1 , b2 , ... , bn ].       (27.27)
  Размерность прямой суммы (27.22) над полем R равняется 2n,
причем в качестве базиса в ней можно выбрать с.в.
                        C = [b1 , b2 , ... , bn , ib1 , ib2 , ... , ibn ]                   (27.28)
(используются описанные выше отождествления).
   Если ту же прямую сумму (27.22) рассматривать над полем C, то
с.в. (27.27) останется базисом после ее вложения V C . В самом деле,
произвольный вектор z = x + iy ∈ V C представляется в виде:
              n
              X                 n
                                X               n
                                                X                           n
                                                                            X
         z=         αk bk + i         βk bk =         (αk + iβk )bk =             λk bk ,
              k=1               k=1             k=1                         k=1

где коэффициенты αk , βk ∈ R; λk = αk + βk ∈ C (k = 1, ... , n).
   Получается, что пространство V C имеет над полем C такую же
размерность n, как исходное пространство V над R :
                                dimC (V C ) = dimR (V ).                                    (27.29)
   Базис вида (27.27) в комплексификации V C будем называть дей-
ствительным базисом этого (вещественно-комплексного) простран-
ства.
   Переходим к описанию "встречной" конструкции превращения
комплексного линейного пространства в действительное. Она значи-
тельно проще в идейном отношении: всякое линейное пространство
над более широким полем P2 (P2 ⊃ P1 ) может, очевидно, рассматри-
ваться над более узким полем P1 .
   В частности, всякое комплексное пространство V можно рассмат-
ривать как действительное, и тогда для него используется обозначе-
ние VR и вводится термин овеществление комплексного простран-
ства V.
   Размерность (над R) пространства VR вдвое больше размерности
(над C) пространства V, причем, имея базис B = [b1 , b2 , ... , bn ] в ис-
ходном пространстве, мы можем в качестве базиса для овеществлен-
ного пространства взять с.в. C = [b1 , b2 , ... , bn , ib1 , ib2 , ... , ibn ]. (Лю-
бопытное обстоятельство: идентичные в записи формулы использо-
вались выше, при описании комплексификации, но здесь логика их
построения — в некотором смысле противоположная.)

Страницы