Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 300 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

300 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Характеристический многочлен для данного л.э. может быть оп-
ределен по его матрице относительно произвольного базиса. Вы-
числим его по описанной выше матрице J. Для этого рассмотрим
характеристическую матрицу λE − J. Она тоже является верхней
треугольной; ее главная диагональ имеет вид
λ − λ
1
, ... , λ − λ
1
| {z }
m
1
раз
, λ −λ
2
, ... , λ − λ
2
| {z }
m
2
раз
, ... , λ − λ
s
, ... , λ − λ
s
| {z }
m
s
раз
,
а на первой наддиагонали расположены (может быть, не сплошь)
элементы −1. Следовательно,
h
ϕ
(λ) = det(λE − J) = (λ − λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
...(λ − λ
s
)
m
s
. (27.17)
Формула (27.17) влечет следующие факты:
1) спектр ϕ исчерпывается скалярами λ
i
,
2) каждое из этих собственных значений имеет алгебраическую
кратность m
i
,
3) сумма m
0
всех алгебраических кратностей совпадает с размер-
ностью n.
Первое утверждение предложения доказано в обе стороны.
2. В предположении алгебраической замкнутости основного по-
ля P всякий многочлен над этим полем разлагается на линейные
множители и, следовательно (см. замечание 18.2), условие m
0
= n
выполняется автоматически, для произвольного л.э. ϕ.
Значит, для любого л.э. существует жорданов базис во всем про-
странстве. ¤
Замечание 27.1. Если для л.э. ϕ ∈ L(V ) существует жорданов
базис (во всем пространстве V ), то ϕ представляется в виде суммы
диагонализируемого и нильпотентного эндоморфизмов: ϕ = δ + υ.
В самом деле, в жордановом базисе данному оператору отвечает
блочно-диагональная матрица J, причем каждый из ее "больших"
блоков, в свою очередь, является блочно-диагональной матрицей,
с "малыми" блоками — жордановыми ящиками. Всякий жорданов
ящик можно представить как сумму скалярной матрицы и ниль-
потентного жорданова ящика. Проделав это для всех ящиков, мы
разобьем матрицу J в сумму диагональной матрицы D (на ее диаго-
нали стоят собственные значения λ
i
, каждое из которых повторяется
столько раз, какова его алгебраическая кратность) и нильпотентной
матрицы Y (которая получается из J заменой всех ж.я. на ниль-
потентные). Сумме матриц J = D + Y отвечает сумма операторов
300     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                    Гл. 3

  Характеристический многочлен для данного л.э. может быть оп-
ределен по его матрице относительно произвольного базиса. Вы-
числим его по описанной выше матрице J. Для этого рассмотрим
характеристическую матрицу λE − J. Она тоже является верхней
треугольной; ее главная диагональ имеет вид

      λ − λ1 , ... , λ − λ1 , λ − λ2 , ... , λ − λ2 , ... , λ − λs , ... , λ − λs ,
      |        {z         } |          {z         }         |        {z         }
             m1 раз                  m2 раз                       ms раз

а на первой наддиагонали расположены (может быть, не сплошь)
элементы −1. Следовательно,

  hϕ (λ) = det(λE − J) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms .                (27.17)

  Формула (27.17) влечет следующие факты:
  1) спектр ϕ исчерпывается скалярами λi ,
  2) каждое из этих собственных значений имеет алгебраическую
кратность mi ,
  3) сумма m0 всех алгебраических кратностей совпадает с размер-
ностью n.
  Первое утверждение предложения доказано в обе стороны.
  2. В предположении алгебраической замкнутости основного по-
ля P всякий многочлен над этим полем разлагается на линейные
множители и, следовательно (см. замечание 18.2), условие m0 = n
выполняется автоматически, для произвольного л.э. ϕ.
  Значит, для любого л.э. существует жорданов базис во всем про-
странстве. ¤
   Замечание 27.1. Если для л.э. ϕ ∈ L(V ) существует жорданов
базис (во всем пространстве V ), то ϕ представляется в виде суммы
диагонализируемого и нильпотентного эндоморфизмов: ϕ = δ + υ.
   В самом деле, в жордановом базисе данному оператору отвечает
блочно-диагональная матрица J, причем каждый из ее "больших"
блоков, в свою очередь, является блочно-диагональной матрицей,
с "малыми" блоками — жордановыми ящиками. Всякий жорданов
ящик можно представить как сумму скалярной матрицы и ниль-
потентного жорданова ящика. Проделав это для всех ящиков, мы
разобьем матрицу J в сумму диагональной матрицы D (на ее диаго-
нали стоят собственные значения λi , каждое из которых повторяется
столько раз, какова его алгебраическая кратность) и нильпотентной
матрицы Y (которая получается из J заменой всех ж.я. на ниль-
потентные). Сумме матриц J = D + Y отвечает сумма операторов

Страницы