Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 298 стр.

298     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                   Гл. 3

   27.2. Жорданов базис в корневой сумме. Большая тео-
рема Жордана. Корневая сумма (27.10), будучи суммой ϕ-инва-
риантных подпространств, сама является ϕ-инвариантным подпро-
странством (см. замечание 19.1). Далее, согласно теореме 27.1, эта
сумма является прямой, так что к ней применима методика построе-
ния базисов, приспособленных к прямому разложению, изложенная
в п. 20.5. Все это делает практически очевидным следующий резуль-
тат, занимающий центральное место во всей спектральной теории
линейных эндоморфизмов.
   Теорема 27.2 (большая теорема Жордана, БТЖ). Пусть ϕ —
линейный эндоморфизм, действующий в n-мерном линейном про-
странстве V (над полем P ); σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs } — его спектр (в по-
ле P , предполагаемый непустым), mi — алгебраические кратности
собственных значений λi , Ui = Qλi (ϕ) — соответствующие корне-
вые подпространства (i = 1, ... , s), m0 — сумма всех алгебраических
кратностей, U 0 = Q(ϕ) — корневая сумма для л.э. ϕ.
   Тогда в подпространстве¯ U 0 существует жорданов базис G 0 для ϕ,
в котором сужению ϕ0 = ϕ¯U 0 отвечает квадратная (m0 × m0 )-матри-
ца J 0 , являющаяся блочно-диагональной и содержащая s "больших"         ¯
диагональных (mi × mi )-блоков Ji , отвечающих сужениям ϕ0i = ϕ¯U 0 ,
                                                                           i
каждый из которых, в свою очередь, имеет блочно-диагональную
структуру, описываемую теоремой 26.1.
   Доказательство. Следуя теореме 26.1, выберем в каждом из кор-
невых подпространств Ui жорданов базис Gi и объединим эти базисы
в с.в.
                      G 0 = [ G1 , G2 , ... , Gs ],       (27.15)
которая будет базисом в прямой сумме (27.12), причем — жордано-
вым для ϕ.                                                      ¯
   Действительно, согласно предложению 20.4, сужению ϕ0 = ϕ¯U 0
оператора ϕ на корневую сумму U 0 будет соответствовать в базисе
(27.15) блочно-диагональная матрица J 0 , вид которой представлен
на диагр. 27.1 в прил. 3. В этой матрице каждый диагональный
блок Ji (называемый "большим"), в свою очередь, имеет блочно-
диагональный вид, показанный на диагр. 26.2, содержащий "сред-
ние" и "малые" диагональные блоки (последние суть жордановы
ящики).
   Условие m0 = n обеспечивает совпадение корневой суммы со всем
пространством V и, тем самым, — существование во всем V жорда-
нова базиса для ϕ. (В этом случае мы будем опускать в обозначениях