Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 296 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

296 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Применим к обеим частям равенства (27.3) л.э. ψ
n
k+1
:
ψ
n
k+1
(a
k
+1
) = µ
1
ψ
n
k+1
(a
1
) + µ
2
ψ
n
k+1
(a
2
) + ... + µ
k
ψ
n
k+1
(a
k
). (27.6)
В левой части это применение, в силу (27.5), даст нулевой век-
тор. Иначе будет обстоять дело в правой части: там оператор ψ
n
k+1
действует на векторы a
i
из "чужих" корневых подпространств U
i
(с номерами i = 1, ... , k). Каждое из этих подпространств является
инвариантным относительно ψ
k+1
, причем как указанный оператор,
так и все его натуральные степени обратимы на U
i
(см. третье утвер-
ждение предложения 26.1). Следовательно, при любом i = 1, ... , k
вектор-образ
b
i
= ψ
n
k+1
(a
i
) (27.7)
снова принадлежит подпространству U
i
и, к тому же, отличен от ну-
ля (поскольку под действием обратимого оператора ненулевые век-
торы переходят в ненулевые). Значит, векторы (27.7) образуют си-
стему
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
k
] (27.8)
из k корневых векторов, отвечающих тем же (попарно различным)
собственным значениям λ
i
. По предположению индукции, с.в. (27.8)
линейно независима.
В то же время имеет место соотношение (27.6), которое в обозна-
чениях (27.7) приобретает вид
0 = µ
1
b
1
+ µ
2
b
2
+ ... + µ
k
b
k
(27.9)
и, ввиду линейной независимости (27.8), влечет обращение в нуль
всех коэффициентов µ
i
(i = 1, ... , k).
Возвращаясь к (27.3), получаем a
k+1
= 0, что противоречит опре-
делению корневого вектора. Убеждаемся в ошибочности предполо-
жения о линейной зависимости с.в. A
0
.
Следовательно, эта система линейно независима; шаг индукции
успешно завершен; предложение доказано. ¤
Перенос свойства собственных векторов, выраженного предложе-
нием 19.3, на корневые векторы потребовал, хотя и не очень серьез-
ного, но все же — усложнения доказательства. А вот очередной шаг
никаких дополнительных ухищрений не потребует.
Следующая теорема выводится из предложения 27.1 посредством
рассуждений, идентичных тем, с помощью которых теорема 19.1 вы-
водилась из предложения 19.3. [Разве что обозначения будут слегка
296    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                       Гл. 3

                                                 n
  Применим к обеим частям равенства (27.3) л.э. ψk+1 :
   n                 n               n                     n
  ψk+1 (ak+1 ) = µ1 ψk+1 (a1 ) + µ2 ψk+1 (a2 ) + ... + µk ψk+1 (ak ).   (27.6)

   В левой части это применение, в силу (27.5), даст нулевой век-
                                                                n
тор. Иначе будет обстоять дело в правой части: там оператор ψk+1
действует на векторы ai из "чужих" корневых подпространств Ui
(с номерами i = 1, ... , k). Каждое из этих подпространств является
инвариантным относительно ψk+1 , причем как указанный оператор,
так и все его натуральные степени обратимы на Ui (см. третье утвер-
ждение предложения 26.1). Следовательно, при любом i = 1, ... , k
вектор-образ
                                    n
                              bi = ψk+1 (ai )                 (27.7)
снова принадлежит подпространству Ui и, к тому же, отличен от ну-
ля (поскольку под действием обратимого оператора ненулевые век-
торы переходят в ненулевые). Значит, векторы (27.7) образуют си-
стему
                        B = [ b1 , b2 , ... , bk ]         (27.8)
из k корневых векторов, отвечающих тем же (попарно различным)
собственным значениям λi . По предположению индукции, с.в. (27.8)
линейно независима.
   В то же время имеет место соотношение (27.6), которое в обозна-
чениях (27.7) приобретает вид

                       0 = µ1 b1 + µ2 b2 + ... + µk bk                  (27.9)

и, ввиду линейной независимости (27.8), влечет обращение в нуль
всех коэффициентов µi (i = 1, ... , k).
   Возвращаясь к (27.3), получаем ak+1 = 0, что противоречит опре-
делению корневого вектора. Убеждаемся в ошибочности предполо-
жения о линейной зависимости с.в. A0 .
   Следовательно, эта система линейно независима; шаг индукции
успешно завершен; предложение доказано. ¤
  Перенос свойства собственных векторов, выраженного предложе-
нием 19.3, на корневые векторы потребовал, хотя и не очень серьез-
ного, но все же — усложнения доказательства. А вот очередной шаг
никаких дополнительных ухищрений не потребует.
  Следующая теорема выводится из предложения 27.1 посредством
рассуждений, идентичных тем, с помощью которых теорема 19.1 вы-
водилась из предложения 19.3. [Разве что обозначения будут слегка

Страницы