Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 290 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

290 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Произведя пересчет по типу (26.20), будем иметь:
h
ϕ
0
i
(λ + λ
i
) = λ
m
i
. (26.26)
Делая в (26.26) обратный сдвиг по аргументу (т. е. заменяя пере-
менную λ на λ − λ
i
), мы приходим к (26.24). ¤
26.5. Жорданов базис в корневом подпространстве л.э.
В теореме 25.1 (МТЖ) утверждалось, что в стабильном ядре (необ-
ратимого) л.э. ϕ существует жорданов базис, в котором эндомор-
физму ϕ соответствует блочно-диагональная матрица с н.ж.я. ви-
да J
k
(0) на диагонали. Поскольку каждое из корневых подпро-
странств U
i
= Q
λ
i
(ϕ) является стабильным ядром для линейного
эндоморфизма ψ
i
, то в нем существует жорданов базис для этого
("своего") эндоморфизма.
Следующая теорема утверждает, что указанный жорданов базис
для ψ
i
является жордановым и для исходного ("общего для всех")
эндоморфизма ϕ. Только ящики уже будут иметь вид J
k
(λ
i
) .
Теорема 26.1. Пусть ϕ — л.э., действующий в n-мерном линей-
ном пространстве V, λ
i
— собственное значение для ϕ, которое имеет
алгебраическую кратность m
i
и которому отвечает корневое под-
пространство U
i
= Q
λ
i
(ϕ), являющееся стабильным (с показателем
стабилизации l
i
) ядром для л.э. ψ
i
= ϕ − λ
i
ε.
Определим последовательности
— итерированных дефектов
d
(k)
i
= dfc(ψ
k
i
); k = 1, ... l
i
; (26.27)
— приращений итерированных дефектов
p
(1)
i
= d
(1)
; p
(k)
i
= d
(k)
i
− d
(k−1)
i
(k = 2, ... , l
i
); (26.28)
— абсолютных вторых приращений итерированных дефектов
q
(k )
i
= p
(k)
i
− p
(k+1)
i
(k = 1, ... , l
i
− 1); q
(l
i
)
i
= p
(l
i
)
i
. (26.29)
Тогда
1) в подпространстве U
i
существует базис, организованный в стол-
бчатую диаграмму D
i
(см. диагр. 26.1 в прил. 3);
290    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                    Гл. 3

  Произведя пересчет по типу (26.20), будем иметь:

                                       hϕ0i (λ + λi ) = λmi .                        (26.26)

  Делая в (26.26) обратный сдвиг по аргументу (т. е. заменяя пере-
менную λ на λ − λi ), мы приходим к (26.24). ¤

   26.5. Жорданов базис в корневом подпространстве л.э.
В теореме 25.1 (МТЖ) утверждалось, что в стабильном ядре (необ-
ратимого) л.э. ϕ существует жорданов базис, в котором эндомор-
физму ϕ соответствует блочно-диагональная матрица с н.ж.я. ви-
да Jk (0) на диагонали. Поскольку каждое из корневых подпро-
странств Ui = Qλi (ϕ) является стабильным ядром для линейного
эндоморфизма ψi , то в нем существует жорданов базис для этого
("своего") эндоморфизма.
   Следующая теорема утверждает, что указанный жорданов базис
для ψi является жордановым и для исходного ("общего для всех")
эндоморфизма ϕ. Только ящики уже будут иметь вид Jk (λi ) .
   Теорема 26.1. Пусть ϕ — л.э., действующий в n-мерном линей-
ном пространстве V, λi — собственное значение для ϕ, которое имеет
алгебраическую кратность mi и которому отвечает корневое под-
пространство Ui = Qλi (ϕ), являющееся стабильным (с показателем
стабилизации li ) ядром для л.э. ψi = ϕ − λi ε.
   Определим последовательности
   — итерированных дефектов

                                 (k)
                                di     = dfc(ψik ); k = 1, ... li ;                  (26.27)

  — приращений итерированных дефектов

            (1)                 (k)       (k)      (k−1)
           pi     = d(1) ; pi         = di      − di       (k = 2, ... , li );       (26.28)

  — абсолютных вторых приращений итерированных дефектов

       (k)         (k)      (k+1)                                 (li )       (l )
      qi        = pi     − pi          (k = 1, ... , li − 1); qi          = pi i .   (26.29)

  Тогда
  1) в подпространстве Ui существует базис, организованный в стол-
бчатую диаграмму Di (см. диагр. 26.1 в прил. 3);

Страницы