Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 287 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 26 Корневые подпространства 287
многочлена p, то он остается справедливым для f, g = g
1
+ g
2
и p, а
значит, он выполняется для любого одночлена f и любых многочле-
нов g и p;
4) провести аналогичное рассуждение применительно к f и до-
биться тем самым полной произвольности всех трех участвующих
многочленов.
Как видите, план, хотя и кропотлив, и трудоемок, но — ясен. Ра-
зумеется, здесь не очень уместна его подробная реализация. Важно
понять, чем отличается "техника многочленов" от "техники функ-
ций". Тем не менее, первый пункт плана мы раскроем:
f(λ) = f
i
λ
i
; g(λ) = g
j
λ
j
; h(λ) = f
i
g
j
λ
i+j
;
F (λ) = (f
i
p
i
k
)λ
ki
; G(λ) = (g
j
p
j
k
)λ
kj
; H(λ) = (f
i
g
j
p
i+j
k
)λ
k(i+j)
;
равенство (26.13
0
) справедливо.
Частным случаем композиции многочленов (именно он нам пона-
добится в дальнейшем) является сдвиг аргумента у многочлена:
F (λ) = f(λ + λ
0
); λ
0
∈ P ; (26.17)
он получается при p(λ) = λ + λ
0
.
Согласно общему закону (26.13), сдвиг для произведения много-
членов равен произведению сдвигов.
Имеют место некоторые специфические свойства сдвинутых мно-
гочленов:
1) элемент λ
1
∈ P является корнем исходного многочлена f(λ)
тогда и только тогда, когда элемент λ
1
− λ
0
является корнем сдви-
нутого многочлена (26.17);
2) исходный многочлен f(λ) не имеет корней в поле P тогда и
только тогда, когда тем же свойством обладает F (λ).
26.4. Размерность корневого подпространства. Вернемся
к изучению спектральной теории для л.э. Следующим нашим ша-
гом в исследовании корневых подпространств будет доказательство
того, что размерность подпространста U
i
= Q
λ
i
(ϕ), отвечающего
собственному значению λ
i
, равняется алгебраической кратности m
i
этого собственного значения.
Данный факт будет следовать из ранее полученного частного ре-
зультата — предложения 25.1, относящегося к случаю нулевого соб-
ственного значения. Сведение общего случая к частному опирается
на полученные в предыдущем пункте свойства сдвинутых (по аргу-
менту) многочленов.
§ 26                     Корневые подпространства                            287

многочлена p, то он остается справедливым для f , g = g1 + g2 и p, а
значит, он выполняется для любого одночлена f и любых многочле-
нов g и p;
  4) провести аналогичное рассуждение применительно к f и до-
биться тем самым полной произвольности всех трех участвующих
многочленов.
  Как видите, план, хотя и кропотлив, и трудоемок, но — ясен. Ра-
зумеется, здесь не очень уместна его подробная реализация. Важно
понять, чем отличается "техника многочленов" от "техники функ-
ций". Тем не менее, первый пункт плана мы раскроем:
f (λ) = fi λi ;            g(λ) = gj λj ;            h(λ) = fi gj λi+j ;

F (λ) = (fi pik )λki ;     G(λ) = (gj pjk )λkj ;     H(λ) = (fi gj pi+j
                                                                    k )λ
                                                                         k(i+j)
                                                                                ;
равенство (26.130 ) справедливо.
  Частным случаем композиции многочленов (именно он нам пона-
добится в дальнейшем) является сдвиг аргумента у многочлена:
                          F (λ) = f (λ + λ0 ); λ0 ∈ P ;                    (26.17)
он получается при p(λ) = λ + λ0 .
  Согласно общему закону (26.13), сдвиг для произведения много-
членов равен произведению сдвигов.
  Имеют место некоторые специфические свойства сдвинутых мно-
гочленов:
  1) элемент λ1 ∈ P является корнем исходного многочлена f (λ)
тогда и только тогда, когда элемент λ1 − λ0 является корнем сдви-
нутого многочлена (26.17);
  2) исходный многочлен f (λ) не имеет корней в поле P тогда и
только тогда, когда тем же свойством обладает F (λ).
   26.4. Размерность корневого подпространства. Вернемся
к изучению спектральной теории для л.э. Следующим нашим ша-
гом в исследовании корневых подпространств будет доказательство
того, что размерность подпространста Ui = Qλi (ϕ), отвечающего
собственному значению λi , равняется алгебраической кратности mi
этого собственного значения.
   Данный факт будет следовать из ранее полученного частного ре-
зультата — предложения 25.1, относящегося к случаю нулевого соб-
ственного значения. Сведение общего случая к частному опирается
на полученные в предыдущем пункте свойства сдвинутых (по аргу-
менту) многочленов.

Страницы