Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 285 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 26 Корневые подпространства 285
При любом натуральном k правая часть (26.9) является ненуле-
вым вектором (т. к. x 6= 0 и λ
j
− λ
i
6= 0). Значит, вектор x не при-
надлежит никакому из итерированных ядер для оператора ψ
i
, в том
числе — и стабильному ядру U
i
. Условие (26.8) доказано. ¤
26.3.
∗
Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у мно-
гочлена. Настоящий пункт является вспомогательным и относит-
ся к теории многочленов. Он найдет свое применение в следующем
пункте, при вычислении размерности корневого пространства. Ес-
ли ваши интересы (или уровень подготовки) позволяют вам ограни-
читься линейной алгеброй над бесконечными (например, числовы-
ми) полями, то смело можно переходить п. 26.4. (Хотя "пробежать
глазами" данный пукт, чтобы вспомнить некоторые определения, бу-
дет, разумеется, не вредно.)
В пособии [A
1
] (см. п. 48.5) вводилось (причем сразу для случая
многочленов от нескольких переменных) понятие композиции двух
многочленов. Здесь мы более детально рассмотрим это понятие при-
менительно к многочленам от одной переменной.
Рассмотрим два многочлена (с коэффициентами из поля P ):
f(λ) = f
0
+ f
1
λ + f
2
λ
2
+ ... + f
n
λ
n
; f
n
6= 0 (26.10)
и
p(λ) = p
0
+ p
1
λ + p
2
λ
2
+ ... + p
l
λ
l
; p
l
6= 0. (26.11)
Композиция F = f ◦ p этих многочленов определяется как под-
становка второго многочлена в первый, вместо переменной λ:
F (λ) = f
0
+ f
1
p(λ) + f
2
(p(λ))
2
+ ... + f
n
(p(λ))
n
, (26.12)
с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов.
Новый многочлен (26.12) будет иметь степень, равную произведе-
нию nl, а его старший коэффициент будет равняться f
n
(p
l
)
n
.
Здесь нас будет интересовать так называемый правый дистрибу-
тивный закон для композиции, относительно умножения, выра-
жаемый следующей формулой:
(f · g) ◦ p = (f ◦ p) · (g ◦ p), (26.13)
где, кроме уже представленных выше многочленов f, p и их компо-
зиции F , фигурируют:
§ 26                 Корневые подпространства                     285

  При любом натуральном k правая часть (26.9) является ненуле-
вым вектором (т. к. x 6= 0 и λj − λi 6= 0). Значит, вектор x не при-
надлежит никакому из итерированных ядер для оператора ψi , в том
числе — и стабильному ядру Ui . Условие (26.8) доказано. ¤

   26.3.∗ Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у мно-
гочлена. Настоящий пункт является вспомогательным и относит-
ся к теории многочленов. Он найдет свое применение в следующем
пункте, при вычислении размерности корневого пространства. Ес-
ли ваши интересы (или уровень подготовки) позволяют вам ограни-
читься линейной алгеброй над бесконечными (например, числовы-
ми) полями, то смело можно переходить п. 26.4. (Хотя "пробежать
глазами" данный пукт, чтобы вспомнить некоторые определения, бу-
дет, разумеется, не вредно.)
   В пособии [A1 ] (см. п. 48.5) вводилось (причем сразу для случая
многочленов от нескольких переменных) понятие композиции двух
многочленов. Здесь мы более детально рассмотрим это понятие при-
менительно к многочленам от одной переменной.
   Рассмотрим два многочлена (с коэффициентами из поля P ):

         f (λ) = f0 + f1 λ + f2 λ2 + ... + fn λn ; fn 6= 0      (26.10)

и
         p(λ) = p0 + p1 λ + p2 λ2 + ... + pl λl ; pl 6= 0.      (26.11)
  Композиция F = f ◦ p этих многочленов определяется как под-
становка второго многочлена в первый, вместо переменной λ:

       F (λ) = f0 + f1 p(λ) + f2 (p(λ))2 + ... + fn (p(λ))n ,   (26.12)

с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов.
Новый многочлен (26.12) будет иметь степень, равную произведе-
нию nl, а его старший коэффициент будет равняться fn (pl )n .
   Здесь нас будет интересовать так называемый правый дистрибу-
тивный закон для композиции, относительно умножения, выра-
жаемый следующей формулой:

                      (f · g) ◦ p = (f ◦ p) · (g ◦ p),          (26.13)

где, кроме уже представленных выше многочленов f , p и их компо-
зиции F , фигурируют:

Страницы