Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 332 стр.

332    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

   П р о в е р к а подтверждает корректность вычислений. В спра-
ведливости равенства G·J = A·G убедитесь самостоятельно (разуме-
ется, лучше — не вручную). Определитель тоже можно вычислить
с привлечением компьютера; получится:

                                     1
                           det(G) = − .
                                     4

  28.4. Особые случаи в задаче о построении жордановых
базисов
   1. Как уже отмечалось (см. замечание 25.1), диагонализирущий
базис для л.э. является частным случаем жорданова. На языке
столбчатых диаграмм этот случай характеризуется тем, что для лю-
бого собственного значения λi соответствующая диаграмма Di явля-
ется "одноэтажной". (В демонстрационном примере предыдущего
пункта такой была только одна из двух столбчатых диаграмм.)
   Другую крайность представляют л.э. с одноэлементным спектром.
Если единственное собственное значение для такого эндоморфиз-
ма имеет алгебраическую кратность, равную размерности простран-
ства, то во всем этом пространстве существует жорданов базис, опи-
сываемый единственной столбчатой диаграммой.
   В этом случае ж.н.ф. для матрицы л.э. содержит всего один "боль-
шой" диагональный блок (о такой матрице можно сказать, что она
имеет "скалярную" диагональ, или, иначе: представляется в виде
суммы скалярной матрицы и нильпотентной).
   Чисто нильпотентная матрица характеризуется тем, что един-
ственным ее характеристическим корнем является нуль (максималь-
но возможной кратности).
   Особенно простым (и важным) является случай, когда единствен-
ная столбчатая диаграмма для л.э. имеет всего один столбец. Такой
эндоморфизм называется одноклеточным, поскольку ж.н.ф. для его
матрицы сводится к единственной жордановой клетке (ж.я.).
   2. В пп. 21.6 и 27.4 мы уже встречались с примерами, когда разум-
ное расширение поля существенно меняет ситуцию в задаче о суще-
ствовании диагонализирующего базиса. Аналогичные явления мо-
гут иметь место и применительно к задаче построения жорданова
базиса.
  Пример 28.1. Рассмотрим л.э. в пространстве V = Q5 , заданный
матрицей