Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 334 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

334 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
всем пространстве V
C
= Q[i]
5
существует жорданов базис (для ком-
плексифицированного эндоморфизма).
Ж.н.ф. матрицы A будет иметь вид:
J =
1 0 0 0 0
0 1 + i 1 0 0
0 0 1 + i 0 0
0 0 0 1 −i 1
0 0 0 0 1 − i
.
Матрица перехода будет теперь комплексной (заметьте, однако,
что базисные корневые векторы, отвечающие комплексно сопряжен-
ным собственным значениям, попарно комплексно сопряжены):
T =
1
7
6
+
26
9
i −
1
9
−
1
6
i
7
6
−
26
9
i −
1
9
+
1
6
i
0
2
9
+i −
2
9
−
5
9
i
2
9
−i −
2
9
+
5
9
i
0
13
18
+
8
9
i −
8
9
+
1
6
i
13
18
−
8
9
i −
8
9
−
1
6
i
−1 −2−
77
18
i 0 −2+
77
18
i 0
1
1
9
+
1
2
i 1
1
9
−
1
2
i 1
.
Подробно разобравшись в содержании (помеченного звездочкой)
пункта 27.4, вы сможете определить действительный базис (но не
жорданов, а обобщенный жорданов), в котором комплексифициро-
ванный л.э. имеет (действительную) обобщенную ж.н.ф.
28.5. Отыскание ж.н.ф. матрицы с помощью системы Ma-
ple. Пакет LinearAlgebra располагает исчерпывающими средствами
вычисления по данной квадратной матрице A ее ж.н.ф. J, а также —
матрицы перехода T , осуществляющей подобие: J = T
−1
AT.
Достаточно применить команду
> JQ := JordanForm( A, output = [ ’J’, ’Q’ ] );
с "резервированием имен" для ж.н.ф. и матрицы перехода (по умол-
чанию они именно таковы, как показано выше). На выходе мы полу-
чим последовательность из двух матриц; элементы этой последова-
теьности можно запросить по отдельности и присвоить их значения
тем переменным, которые использовались в нашем изложении:
334    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                             Гл. 3

всем пространстве V C = Q[i]5 существует жорданов базис (для ком-
плексифицированного эндоморфизма).
   Ж.н.ф. матрицы A будет иметь вид:
                                                                 
                           1          0    0       0          0
                   0           1+i 1              0         0
                                                        
                                                        
                J = 0           0 1+i             0     .   0
                                                        
                   0                 0    0      1−i 1 
                     0                0    0       0 1−i

  Матрица перехода будет теперь комплексной (заметьте, однако,
что базисные корневые векторы, отвечающие комплексно сопряжен-
ным собственным значениям, попарно комплексно сопряжены):
                          7 26            1 1     7 26            1 1 
                   1       6+ 9 i         −9−6i    6− 9 i         −9+6i
                                                                         
                              2           2 5         2           2 5 
              0               9 +i       −9−9i        9 −i       −9+9i 
                                                                       
                                                                         
                          13 8            8 1     13 8            8 1 
          T = 0           18 + 9 i       −9+6i    18 − 9 i       −9−6i  .
                                                                       
                                                                         
                              77                      77                 
              −1          −2− 18 i         0      −2+ 18 i           0   
                                                                         
                               1 1                  1 1
                   1           9+2i         1       9−2i              1

  Подробно разобравшись в содержании (помеченного звездочкой)
пункта 27.4, вы сможете определить действительный базис (но не
жорданов, а обобщенный жорданов), в котором комплексифициро-
ванный л.э. имеет (действительную) обобщенную ж.н.ф.

  28.5. Отыскание ж.н.ф. матрицы с помощью системы Ma-
ple. Пакет LinearAlgebra располагает исчерпывающими средствами
вычисления по данной квадратной матрице A ее ж.н.ф. J, а также —
матрицы перехода T , осуществляющей подобие: J = T −1 AT.
  Достаточно применить команду
  > JQ := JordanForm( A, output = [ ’J’, ’Q’ ] );
с "резервированием имен" для ж.н.ф. и матрицы перехода (по умол-
чанию они именно таковы, как показано выше). На выходе мы полу-
чим последовательность из двух матриц; элементы этой последова-
теьности можно запросить по отдельности и присвоить их значения
тем переменным, которые использовались в нашем изложении:

Страницы