Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 333 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 28 Алгоритм построения жорданова базиса 333
A =
22 −17 −19 4 −17
6 −4 −6 1 −5
5 −3 −4 1 −4
−32 26 29 −5 26
6 −6 −5 1 −4
Вычисление характеристического многочлена и его корней дает:
h
A
(λ) = λ
5
− 5λ
4
+ 12λ
3
− 16λ
2
+ 12λ − 4 =
= (λ − 1) (λ
2
− 2λ + 2)
2
= (λ − 1) (λ − (1 − i))
2
(λ − (1 + i))
2
.
Если рассматривать эндоморфизм так, как он задан (т. е. над
полем рациональных чисел), то будет существовать лишь одно од-
нократное собственное значение λ
1
= 1. Корневая сумма будет сво-
диться к (одномерному) собственному подпространству, отвечающе-
му этому собственному значению. Вычисления приводят к следую-
щей частично жордановой форме:
A
0
=
1 6 −6 −5 1
0 16 −11 −14 3
0 6 −4 −6 1
0 5 −3 −4 1
0 −26 20 24 −4
,
с единственным (одномерным) ж.я. J
1
(1) = 1 в северо-западном
углу. Матрица перехода (содержащая частично жорданов базис) по-
лучается такой:
T =
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
−1 0 0 0 1
1 0 0 0 0
.
Расширяя (комплексифицируя) поле Q, мы выходим в поле Q[i]
рациональных гауссовых чисел. Над этим полем л.э., заданный той
же самой матрицей A, обладает, помимо однократного собственного
значения λ
1
= 1, еще двумя (двукратными) собственными значени-
ями λ
2,3
= 1 ± i, комплексно сопряженными друг другу.
Теперь сумма алгебраических кратностей всех собственных зна-
чений совпадает с размерностью пространства. Следовательно, во
§ 28          Алгоритм построения жорданова базиса                    333


                                                     
                     22 −17 −19 4                 −17
                    6   −4 −6  1                 −5 
                                                     
                 A= 5   −3 −4  1                 −4 
                                                     
                     −32 26 29 −5                 26
                      6  −6 −5  1                 −4
   Вычисление характеристического многочлена и его корней дает:

  hA (λ) = λ5 − 5λ4 + 12λ3 − 16λ2 + 12λ − 4 =
       = (λ − 1) (λ2 − 2λ + 2)2 = (λ − 1) (λ − (1 − i))2 (λ − (1 + i))2 .

  Если рассматривать эндоморфизм так, как он задан (т. е. над
полем рациональных чисел), то будет существовать лишь одно од-
нократное собственное значение λ1 = 1. Корневая сумма будет сво-
диться к (одномерному) собственному подпространству, отвечающе-
му этому собственному значению. Вычисления приводят к следую-
щей частично жордановой форме:
                                                     
                           1    6    −6     −5     1
                          0   16    −11    −14    3 
                                                     
                 A0 = 
                          0    6    −4     −6     1 ,
                          0    5    −3     −4     1 
                           0   −26   20     24     −4

с единственным (одномерным) ж.я. J1 (1) = 1 в северо-западном
углу. Матрица перехода (содержащая частично жорданов базис) по-
лучается такой:
                                       
                           1 1 0 0 0
                         0 0 1 0 0
                                       
                   T =  0 0 0 1 0.
                                       
                          −1 0 0 0 1
                           1 0 0 0 0
  Расширяя (комплексифицируя) поле Q, мы выходим в поле Q[i]
рациональных гауссовых чисел. Над этим полем л.э., заданный той
же самой матрицей A, обладает, помимо однократного собственного
значения λ1 = 1, еще двумя (двукратными) собственными значени-
ями λ2,3 = 1 ± i, комплексно сопряженными друг другу.
  Теперь сумма алгебраических кратностей всех собственных зна-
чений совпадает с размерностью пространства. Следовательно, во

Страницы