Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t
˙
e
1
= (−i
1
sin ϕ + i
2
cos ϕ) ˙ϕ = e
2
˙ϕ,
˙
e
2
= (−i
1
cos ϕ + i
2
sin ϕ) ˙ϕ = −e
1
˙ϕ.
(6.3)
ωωω
ωω
ωωω
ωω
=
1
2
3
X
i=1
[e
i
,
˙
e
i
] =
1
2
([e
1
,
˙
e
1
] + [e
2
,
˙
e
2
]) =
1
2
([e
1
, e
2
] − [e
2
, e
1
]) ˙ϕ = ˙ϕe
3
.
ωωω
ωω
= ˙ϕe
3
= ωe
3
(6.4)
e
3
= i
3
ω = ˙ϕ t
εεε
εε
εεε
εε
= ˙ω˙ω˙ω
˙ω˙ω
= ¨ϕe
3
= ˙ωe
3
, (6.5)
e
3
= i
3
ε = ¨ϕ = ˙ω
B
C
H
A
a
O
h
F
w
e
2
e
3
e
1
e
r
B
A
V
A
= 0 O
V
O
≡ 0 B
V
B
= [ωωω
ωω
, r] r = OB A
V
A
= [ωωω
ωω
, r] = 0 r = OA
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòèõ âûðàæåíèé ïî âðåìåíè t ñ ó÷¼òîì (6.1) ïðèâîäèò ê
ðåçóëüòàòàì:
                   ė1 = (−i1 sin ϕ + i2 cos ϕ)ϕ̇ = e2 ϕ̇,
                                                                   (6.3)
                   ė2 = (−i1 cos ϕ + i2 sin ϕ)ϕ̇ = −e1 ϕ̇.
Ñ ó÷¼òîì ñîîòíîøåíèé (6.1)  (6.3) âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå (4.7) óãëîâóþ ñêî-
ðîñòü ω òåëà:
             3
       1X                 1                             1
    ω=       [ei , ėi ] = ([e1 , ė1 ] + [e2 , ė2 ]) = ([e1 , e2 ] − [e2 , e1 ]) ϕ̇ = ϕ̇e3 .
       2 i=1              2                             2

Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå, êîãäà ïðÿìàÿ, ñâÿçàííàÿ ñ òåëîì, ïåðåìåùàåòñÿ ïà-
ðàëëåëüíî ñåáå ñàìîé, íàïðàâëåíèå óãëîâîé ñêîðîñòè

                                       ω = ϕ̇e3 = ωe3                                            (6.4)

ñîâïàäàåò ñ ïîñòîÿííûì íàïðàâëåíèåì e3 = i3 , à âåëè÷èíà óãëîâîé ñêîðîñòè
ðàâíà ω = ϕ̇  ïðîèçâîäíîé ïî t óãëà ïîâîðîòà.
    Óãëîâîå óñêîðåíèå ε âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (5.1), èñõîäÿ èç âûðàæåíèé
(6.1) è (6.4):
                            ε = ω̇ = ϕ̈e3 = ω̇e3 ,                   (6.5)
òî åñòü íàïðàâëåíèå óãëîâîãî óñêîðåíèÿ òàêæå ñîâïàäàåò ñ ïîñòîÿííûì íàïðàâ-
ëåíèåì e3 = i3 , à âåëè÷èíà óãëîâîãî óñêîðåíèÿ ðàâíà ε = ϕ̈ = ω̇ .
Ïðèìåð 6.2. Ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ ðàâíîìåðíî êàòèòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî
ïëîñêîñòè (ðèñ. 6.2). Òðåáóåòñÿ íàéòè åãî óãëîâóþ ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå.



                                                         rB                B
                                                              H             C
             e3                                                              h
       O                                   a                   A               F
   e1 e               e2                                                      w
                                           Ðèñ. 6.2

Îòñóòñòâèå ñêîëüæåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ òî÷êà A ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîíóñà
ñ ïëîñêîñòüþ èìåþò íóëåâóþ ñêîðîñòü: VA = 0. Ñêîðîñòü âåðøèíû O êîíóñà
âñåãäà ðàâíà íóëþ: VO ≡ 0, à ñêîðîñòè äðóãèõ òî÷åê B êîíóñà îïðåäåëÿþòñÿ
ôîðìóëîé (4.11): VB = [ωω , r], r = OB . Äëÿ òî÷åê A ñîïðèêîñíîâåíèÿ èç ýòî-
ãî ðåçóëüòàòà ñëåäóåò: VA = [ω ω , r] = 0, r = OA, òî åñòü íàïðàâëåíèå óãëîâîé

                                               23

Страницы