Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

m
1
m
2
r
1
r
2
O
r
2
Ñ
r
2
r
Ñ
r
1
r
1
r
m
1
m
2
r
1
(t) r
2
(t)
r
0
1
r
0
2
V
0
1
=
˙
r
0
1
V
0
2
=
˙
r
0
2
ρρρ
ρρ
= r
1
−r
2
C
r
C
O ρρρ
ρρ
1
ρρρ
ρρ
2
C
r
C
=
m
1
r
1
+ m
2
r
2
m
1
+ m
2
, ρρρ
ρρ
1
=
m
2
m
1
+ m
2
ρρρ
ρρ
, ρρρ
ρρ
2
= −
m
1
m
1
+ m
2
ρρρ
ρρ
. (22.1)
C
V
0
C
V
0
C
=
m
1
V
0
1
+ m
2
V
0
2
m
1
+ m
2
, r
C
= r
0
C
+ V
0
C
t =
m
1
r
0
1
+ m
2
r
0
2
m
1
+ m
2
+
m
1
V
0
1
+ m
2
V
0
2
m
1
+ m
2
t. (22.2)
m
1
¨
r
1
= −γ
m
1
m
2
ρ
2
ρρρ
ρρ
ρ
, m
2
¨
r
2
= γ
m
1
m
2
ρ
2
ρρρ
ρρ
ρ
,
ρρρ
ρρ
= r
1
− r
2
¨ρ¨ρ¨ρ
¨ρ¨ρ
= −γ
m
1
+ m
2
ρ
2
ρρρ
ρρ
ρ
ρρρ
ρρ
(t)
ρρρ
ρρ
ρρρ
ρρ
1
¨ρ¨ρ¨ρ
¨ρ¨ρ
1
= −γ
m
3
2
(m
1
+ m
2
)
2
ρ
2
1
ρρρ
ρρ
1
ρ
1
.
Ÿ 22. ÂÇÀÈÌÍÎÅ ÒßÃÎÒÅÍÈÅ ÄÂÓÕ È ÒÐœÕ ÒÎ×ÅÊ
Äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ñ ìàññàìè m1 è m2 âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî äðóã ñ
äðóãîì, è ýòî âçàèìîäåéñòâèå ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ïî-
ëîæåíèÿ òî÷åê îïðåäåëÿþò ðàäèóñâåêòîðû r1 , r2 , îòëîæåííûå îò íåïîäâèæíîé
òî÷êè O (ðèñ. 22.1).


                       m1                 r1
                              r                    Ñ
                r1
                                           rÑ                              r2
                                                                      r2      m2
                                          Ðèñ. 22.1
Ñòàâèòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: îïðåäåëèòü äâèæåíèå òî÷åê r1 (t), r2 (t), ñîîòâåò-
ñòâóþùåå íà÷àëüíûì äàííûì r01 , r02 , V10 = ṙ01 , V20 = ṙ02 . Ââåä¼ì âåêòîð ρ = r1 −r2 ,
ïðîâåä¼ííûé îò âòîðîé òî÷êè ê ïåðâîé (ðèñ. 22.1). Öåíòðó èíåðöèè C ñîîòâåò-
ñòâóþò ðàäèóñâåêòîð rC , îòëîæåííûé îò òî÷êè O, è âåêòîðû ρ1 , ρ2 , ïðîâåä¼í-
íûå èç C ê ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì (ðèñ. 22.1):
            m1 r1 + m2 r2               m2                 m1
         rC =             ,    ρ1 =            ρ, ρ2 = −         ρ. (22.1)
              m1 + m2               m1 + m2              m1 + m2
Òàê êàê âíåøíèå ñèëû îòñóòñòâóþò, öåíòð èíåðöèè C ñèñòåìû äâèæåòñÿ ñ ïî-
ñòîÿííîé ñêîðîñòüþ VC 0
                         (ñì. (16.5), (22.1)):
         m1 V10 + m2 V20                          m1 r01 + m2 r02 m1 V10 + m2 V20
 VC0 =                   ,   rC = r0C + VC0 t =                  +                t. (22.2)
            m1 + m2                                m1 + m2           m1 + m2
Çàïèøåì äëÿ êàæäîé òî÷êè óðàâíåíèå Íüþòîíà (15.1) (ñì. (21.3)):
                             m1 m2 ρ                  m1 m2 ρ
                     m1 r̈1 = −γ     ,    m 2 r̈2 = γ         ,
                              ρ2 ρ                     ρ2 ρ
ñîêðàòèì â êàæäîì óðàâíåíèè îäíó èç ìàññ, âû÷òåì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòî-
ðîå, ñ ó÷¼òîì ρ = r1 − r2 ïîëó÷èì óðàâíåíèå
                                             m1 + m2 ρ
                                   ρ̈ = −γ
                                                ρ2   ρ
ñ îäíîé íåèçâåñòíîé âåêòîðôóíêöèåé ρ(t). Ñäåëàâ ïðè ïîìîùè (22.1) ïåðåõîä
îò ρ ê ρ1 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå
                                               m32        ρ1
                               ρ̈1 = −γ                      .
                                          (m1 + m2 )2 ρ21 ρ1

                                             79

Страницы