Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Λ
1
, . . . , Λ
n
k β
¤ i
1
i
2
i
3
e
1
e
2
e
3
Λ
1
= cos
ψ + ϕ
2
+ i
3
sin
ψ + ϕ
2
, Λ
2
= cos
θ
2
+ n sin
θ
2
.
N
N = Λ
2
◦ Λ
1
= cos
θ
2
cos
ψ + ϕ
2
+
+i
3
cos
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
+ n sin
θ
2
cos
ψ + ϕ
2
+ [n, i
3
] sin
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
.
(28.3)
β
cos
β
2
= cos
θ
2
cos
ψ + ϕ
2
, (28.4)
k = i
3
cos
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
+ n sin
θ
2
cos
ψ + ϕ
2
+ [n, i
3
] sin
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
.
n i
1
i
2
i
3
n = i
1
cos ψ + i
2
sin ψ
N = Λ
2
◦ Λ
1
= cos
θ
2
cos
ψ + ϕ
2
+
+i
1
sin
θ
2
cos
ψ −ϕ
2
+ i
2
sin
θ
2
sin
ψ −ϕ
2
+ i
3
cos
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
.
β
k = i
1
sin
θ
2
cos
ψ −ϕ
2
+ i
2
sin
θ
2
sin
ψ −ϕ
2
+ i
3
cos
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
. (28.5)
¥
Îáðàùàåì âíèìàíèå, ÷òî òâîðöû Λ1 , . . . , Λn ïîâîðîòîâ ðàñïîëîæåíû â ôîð-
ìóëå (28.2) â îáðàòíîì ïîðÿäêå.
Òåîðåìà 28.2 (Ë. Ýéëåð) [6, Ÿ 6]. Äâà ïîëîæåíèÿ òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæ-
íîé òî÷êîé ìîãóò áûòü ïåðåâåäåíû îäíî â äðóãîå ïîâîðîòîì âîêðóã íåêîòîðîé
îñè, çàäàííîé âåêòîðîì k, íà íåêîòîðûé óãîë β .
¤ Ïóñòü íà ðèñ. 26.1 áàçèñ i1 , i2 , i3 ñâÿçàí ñ îäíèì ïîëîæåíèåì òåëà, áàçèñ e1 , e2 ,
e3  ñ äðóãèì. Òåîðåìà 26.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ïåðâîå ïîëîæåíèå òåëà ìîæíî ïå-
ðåâåñòè âî âòîðîå äâóìÿ ïîâîðîòàìè. Â ýéëåðîâûõ óãëàõ ýòèì äâóì ïîâîðîòàì
â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (28.1) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñëåäóþùèå êâàòåðíèîíû
                         ψ+ϕ          ψ+ϕ                    θ        θ
              Λ1 = cos       + i3 sin     ,       Λ2 = cos     + n sin .
                          2            2                     2        2
Ôîðìóëû (28.2) è (27.3) îïðåäåëÿþò êâàòåðíèîí N , çàäàþùèé ðåçóëüòèðóþùèé
ïîâîðîò:
                                    θ     ψ+ϕ
                         N = Λ2 ◦ Λ1 = cos
                                      cos       +
                                    2       2
                                                                                (28.3)
              θ    ψ+ϕ        θ    ψ+ϕ                 θ    ψ+ϕ
       +i3 cos sin     + n sin cos       + [n, i3 ] sin sin     .
              2     2         2     2                  2     2
Òàêèì îáðàçîì, åñëè îäíî ïîëîæåíèå òåëà çàäàíî îòíîñèòåëüíî äðóãîãî ïîëîæå-
íèÿ óãëàìè Ýéëåðà, òî äëÿ ñîâìåùåíèÿ ïîëîæåíèé íóæíî îñóùåñòâèòü ïîâîðîò
âòîðîãî ïîëîæåíèÿ íà óãîë β , çàäàííûé óðàâíåíèåì
                                     β      θ    ψ+ϕ
                               cos     = cos cos     ,                          (28.4)
                                     2      2     2
âîêðóã âåêòîðà
                      θ     ψ+ϕ        θ    ψ+ϕ               θ    ψ+ϕ
         k = i3 cos     sin     + n sin cos     + [n, i3 ] sin sin     .
                      2      2         2     2                2     2
Åñëè âûðàçèòü îðò n ÷åðåç îðòû i1 , i2 , i3 (ðèñ. 26.1): n = i1 cos ψ + i2 sin ψ , 
è ïîäñòàâèòü ýòî âûðàæåíèå â (28.3), ïîëó÷èì ðåçóëüòèðóþùèé êâàòåðíèîí â
áîëåå ïðèíÿòîì âèäå [8, 3.6]:
                                         θ     ψ+ϕ
                                           cos
                           N = Λ2 ◦ Λ1 = cos          +
                                         2       2
                   θ    ψ−ϕ         θ    ψ−ϕ            θ    ψ+ϕ
            +i1 sin cos     + i2 sin sin        + i3 cos sin     .
                   2     2          2       2           2     2
Äëÿ ñîâìåùåíèÿ íóæíî ïîâåðíóòü òåëî íà óãîë β (ñì. (28.4)) âîêðóã âåêòîðà
                     θ     ψ−ϕ         θ    ψ−ϕ         θ    ψ+ϕ
        k = i1 sin     cos     + i2 sin sin     + i3 cos sin     .              (28.5)
                     2      2          2     2          2     2
¥

                                           97

Страницы