Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

θ ω = ˙ϕ
ω =
˙
ψ
β
k
ϕ = ω t
ψ = ω t
θ = α + π/2 ω = Ω ω = Ω/ sin α
α = π/ 4
e
k
= Λ ◦i
k
◦
e
Λ. (28.6)
e
Λ Λ
i
k
=
e
Λ ◦ e
k
◦ Λ. (28.7)
Λ = λ
0
+
3
X
k=1
λ
k
i
k
(28.8)
Λ
e
Λ
Λ ◦ Λ ◦
e
Λ
|{z}
1
= λ
0
Λ ◦
e
Λ
|{z}
1
+
3
X
k=1
λ
k
Λ ◦ i
k
◦
e
Λ
| {z }
e
k
Λ = λ
0
+
3
P
k=1
λ
k
e
k
Λ
t e
1
e
2
e
3
λ
0
λ
1
λ
2
λ
3
e
1
e
2
e
3
λ
0
(t)
λ
1
(t) λ
2
(t) λ
3
(t)
i
k
Λ=λ
0
+
3
P
k=1
λ
k
i
k
−−−−−−−−−→ e
k
M=µ
0
+
3
P
k=1
µ
k
e
k
−−−−−−−−−→ n
k
.
Ïðèìåð 28.1 [12, çàäà÷à 4.71]. Òâ¼ðäîå òåëî ñîâåðøàåò ðåãóëÿðíóþ ïðåöåññèþ
(îïðåäåëåíèå 10.1, ðèñ. 10.1) ñ ïàðàìåòðàìè: θ  óãîë íóòàöèè, ω îòí = ϕ̇ 
óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ, ω ïåð = ψ̇  óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåñ-
ñèè. Ñâÿçàòü íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ïîëîæåíèÿ òåëà ïîâîðîòîì íà óãîë β âîêðóã
âåêòîðà k.
   Çàäà÷ó ðåøàåò ïîäñòàíîâêà â ôîðìóëû (28.4), (28.5) âûðàæåíèé ϕ = ω îòí t,
ψ = ω ïåð t.  ñëó÷àå ïðèìåðà 10.1  êîíóñ êàòàåòñÿ ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëü-
çûâàíèÿ (ðèñ. 10.2)  ïàðàìåòðû ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè ìîæíî óêàçàòü êîí-
êðåòíåé: θ = α + π/2, ω ïåð = Ω, ω îòí = Ω/ sin α.  [12, çàäà÷à 4.71] äëÿ êîíóñà
óòî÷íÿåòñÿ α = π/4.
   Íîðìèðîâàííûé êâàòåðíèîí (27.17) ïðè ïîìîùè òåîðåìû 28.1 ïðåäîñòàâëÿåò
âîçìîæíîñòü çàäàòü îðèåíòàöèþ òåëà îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà:
                                                     e
                                       ek = Λ ◦ ik ◦ Λ.                                              (28.6)
Êâàòåðíèîííîå óìíîæåíèå (28.6) ñëåâà íà Λe , ñïðàâà íà Λ ñ ó÷¼òîì (27.15) ïðè-
âîäèò ê ñîîòíîøåíèþ
                                  e ◦ ek ◦ Λ.
                             ik = Λ                                     (28.7)
Êâàòåðíèîííîå óìíîæåíèå íîðìèðîâàííîãî êâàòåðíèîíà
                                                      3
                                                      X
                                    Λ = λ0 +                λk ik                                    (28.8)
                                                      k=1

                      e
ñëåâà íà Λ, ñïðàâà íà Λ
                                                          3
                                                          X
                     Λ◦Λ ◦Λ e = λ0 Λ ◦ Λ
                                       e                                    e
                       | {z }      | {z } +                     λk Λ ◦ ik ◦ Λ
                                                                   | {z }
                            1                    1        k=1                 ek

                                                                                   P
                                                                                   3
ñ ó÷¼òîì (27.15) è (28.6) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ Λ = λ0 +                                  λk ek , èç êîòîðîãî
                                                                                   k=1
ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâà áàçèñà ñâÿçàíû ïî ôîðìóëå (28.1) íîðìèðîâàííûì êâà-
òåðíèîíîì Λ, òî ýòîò êâàòåðíèîí ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì ýòèõ áàçèñîâ ñ
îäèíàêîâûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ.
     Èç ôîðìóë (28.6) è (28.8) ñëåäóåò: äëÿ òîãî ÷òîáû çíàòü â êàæäûé ìîìåíò
âðåìåíè t îðèåíòàöèþ òåëà  ïîëîæåíèå ñâÿçàííûõ ñ òåëî îðòîâ e1 , e2 , e3 
íóæíî çíàòü ÷åòûðå ÷èñëà λ0 , λ1 , λ2 , λ3 . Ýòè ÷èñëà  êîýôôèöèåíòû ðàçëî-
æåíèÿ êâàòåðíèîíà (28.8), çàäàþùåãî ïî ôîðìóëå (28.6) ïîëîæåíèÿ îðòîâ e1 ,
e2 , e3 ,  íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè ÐîäðèãàÃàìèëüòîíà. Çàäàòü äâèæåíèå
òåëà (ñ òî÷êè çðåíèÿ îðèåíòàöèè)  çàäàòü ÷åòûðå ñêàëÿðíûõ ôóíêöèè λ0 (t),
λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t).
     Âåðí¼ìñÿ ê ñèòóàöèè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîâîðîòîâ
                                   P
                                   3                            P
                                                                3
                          Λ=λ0 +         λk ik        M =µ0 +         µk ek
                                   k=1                          k=1
                      ik −−−−−−−−−→ ek −−−−−−−−−→ nk .

                                                     98

Страницы