Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ
0
(t) λ
1
(t) λ
2
(t) λ
3
(t) Λ(t)
t t Λ ◦
e
Λ = 1
˙
Λ ◦
e
Λ + Λ ◦
˙
e
Λ = 0
˙
Λ ◦
e
Λ = −Λ ◦
˙
e
Λ = −
]
˙
Λ ◦
e
Λ
˙
Λ ◦
e
Λ
b =
˙
Λ ◦
e
Λ = −Λ ◦
˙
e
Λ. (29.1)
t
˙
e
k
=
˙
Λ ◦ i
k
◦
e
Λ + Λ ◦ i
k
◦
˙
e
Λ
(28.7)
=
˙
Λ ◦
e
Λ
|{z}
b
◦e
k
◦ Λ ◦
e
Λ
|{z}
1
+ Λ ◦
e
Λ
|{z}
1
◦e
k
◦ Λ ◦
˙
e
Λ
|{z}
−b
=
= b ◦ e
k
− e
k
◦ b
(27.4)
= 2[b, e
k
] = [2b, e
k
].
(29.2)
ωωω
ωω
˙
e
k
= [ωωω
ωω
, e
k
]
Λ(t)
ωωω
ωω
= 2b = 2
˙
Λ ◦
e
Λ = −2Λ ◦
˙
e
Λ. (29.3)
Λ(t)
˙
Λ =
1
2
˙ϕ
³
−sin
ϕ
2
+ e cos
ϕ
2
´
+
˙
e sin
ϕ
2
,
e
Λ = cos
ϕ
2
− e sin
ϕ
2
,
ωωω
ωω
= e ˙ϕ +
˙
e sin ϕ + [e,
˙
e](1 − cos ϕ),
ϕ = 0
ωωω
ωω
˙ϕe
Λ(t)
Λ(t)
˙
Λ =
1
2
ωωω
ωω
◦ Λ. (29.3)
ωωω
ωω
ωωω
ωω
= pe
1
+ qe
2
+ re
3
.
Ÿ 29. ÊÈÍÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
 ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÕ ÐÎÄÐÈÃÀÃÀÌÈËÜÒÎÍÀ
Òâ¼ðäîå òåëî ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, òî åñòü, ïàðàìåòðû ÐîäðèãàÃàìèëüòîíà
λ0 (t), λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t) è íîðìèðîâàííûé êâàòåðíèîí Λ(t)  ôóíêöèè âðå-
ìåíè t. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t óñëîâèÿ íîðìèðîâàííîñòè Λ ◦ Λ            e = 1 (ñì.
(27.15)) ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ Λ̇ ◦ Λ        e +Λ◦Λ   ė = 0, èç êîòîðîãî ñëåäóåò
     e = −Λ ◦ Λ
Λ̇ ◦ Λ             ė = −Λ̇]  ◦Λe . Òàêèì îáðàçîì, êâàòåðíèîí Λ̇ ◦ Λ
                                                                   e â ñèëó ñîîòíî-
øåíèÿ (27.10) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì:

                                            e = −Λ ◦ Λ.
                                   b = Λ̇ ◦ Λ        ė                                 (29.1)

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè t ñâÿçü (28.6) ìåæäó áàçèñàìè:

   ėk = Λ̇ ◦ ik ◦ Λ            ė (28.7)
                   e + Λ ◦ ik ◦ Λ    = Λ̇   ◦Λ e ◦ek ◦ Λ ◦ Λ
                                                           e         e ◦ek ◦ Λ ◦ Λ
                                                                                 ė
                                          | {z }       | {z } + Λ ◦Λ
                                                                | {z }       | {z } =
                                           b            1        1           −b         (29.2)
                                        (27.4)
                    = b ◦ ek − ek ◦ b = 2[b, ek ] = [2b, ek ].

Ëåììà 4.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð ω óãëîâîé ñêîðîñòè
òàêîé, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ėk = [ω
                              ω , ek ]. Ñðàâíåíèå ýòîé ôîðìóëû ñ (29.2) ïðèâîäèò
ê âûâîäó, ÷òî, åñëè îðèåíòàöèÿ òâ¼ðäîãî òåëà çàäàíà êâàòåðíèîíîì Λ(t), òî äëÿ
óãëîâîé ñêîðîñòè âûïîëíÿåòñÿ (ñì. (29.1))

                                             e = −2Λ ◦ Λ.
                              ω = 2b = 2Λ̇ ◦ Λ         ė                               (29.3)

Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ íîðìèðîâàííîãî êâàòåðíèîíà Λ(t) ïðåäñòàâëåíèåì
(27.17) è ïîäñòàâèòü â (29.3)
               1 ³      ϕ       ϕ´         ϕ  e = cos ϕ − e sin ϕ ,
          Λ̇ = ϕ̇ − sin + e cos    + ė sin , Λ
               2        2       2          2          2         2
ïîëó÷èì äëÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèå ïî îðòîãîíàëüíîìó ïî-
äâèæíîìó áàçèñó:
                    ω = eϕ̇ + ė sin ϕ + [e, ė](1 − cos ϕ),
â ÷àñòíîñòè, åñëè â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè âûïîëíÿåòñÿ ϕ = 0, ïðè-
õîäèì ê äîõîä÷èâîé øêîëüíîé ôîðìóëå ω = ϕ̇e.
   Óìíîæèâ ôîðìóëó (29.3) ñïðàâà íà Λ(t), ïðèä¼ì ñ ó÷¼òîì íîðìèðîâàííîñòè
(27.15) êâàòåðíèîíà Λ(t) ê êèíåìàòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ
                                            1
                                        Λ̇ = ω ◦ Λ.                                     (29.3)
                                            2
 ïðèëîæåíèÿõ óäîáíî çàäàâàòü óãëîâóþ ñêîðîñòü ω ðàçëîæåíèåì ïî áàçèñó,
ñâÿçàííîìó ñ òåëîì (ñì. (26.7)):

                                   ω = pe1 + qe2 + re3 .

                                             100

Страницы