Моделирование систем. Яковенко П.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( ) ( )
св в
y t y t y t
= −
.
В соответствии с определением устойчивости по А.М. Ляпунову
система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени
( )t
→ Ґ
свободная составляющая будет стремиться к нулю
( ( ) 0)
св
y t
→
.
Чтобы найти эту составляющую необходимо решить дифференциальное
уравнение
1 2
0 1 2
1 2
( ) ( ) ( )
... ( ) 0
n n n
св св св
nсв
n n n
d y t d y t d y t
a a a a y t
dt dt dt
− −
− −
+ + + + =
. (3.5)
Решением уравнения (3.5) является выражение
( )
t
св
y t c e
λ
= Ч
.
Дифференцируя это выражение
n
раз и подставляя в уравнение
(3.5) после сокращения на общий множитель
t
c e
λ
Ч
получаем уравнение
1 2
0 1 2
... 0
n n n
n
a a a a
λ λ λ
− −
+ + + + =
(3.6)
Это алгебраическое уравнение (3.6) называют характеристическим.
Его корни
определяют характер переходного процесса в
системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть уравнения
(3.6) совпадает с оператором при выходной величине в уравнении (3.1),
поэтому характеристическое уравнение получают обычно, приравнивая
нулю оператор при выходной величине в дифференциальном уравнении
(3.1)
1 2
0 1 2
... 0
n n n
n
a p a p a p a
− −
+ + + + =
. (3.7)
В характеристическом уравнении (3.7) буква
p
означает уже не
символ дифференцирования, а некоторое комплексное число. Решение
уравнения предполагает нахождение
n
корней.
Корни уравнения с постоянными коэффициентами могут быть ве-
щественными, комплексными попарно - сопряженными, мнимыми по-
парно - сопряженными, нулевыми. В общем случае
i i
p j
α β
= +
. Обычно
корни с отрицательными вещественными частями принято называть ле-
выми корнями, а корни с положительными вещественными частями -
правыми корнями.

Страницы