Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ниях
n
расходуется много места в памяти. Существенным недостатком
прямых методов является накопление погрешностей в процессе реше-
ния, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты пре-
дыдущих операций. Эти методы используются обычно для не слишком
больших (
1000n
Ј
) систем с плотно заполненной матрицей и не близким
к нулю определителем. При использовании компьютеров неизбежны по-
грешности в окончательных результатах, т.к. на практике вычисления
производятся с погрешностями.
Итерационные методы – это методы последовательных приближе-
ний. В них необходимо задать некоторое приближенное решение - на-
чальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма
проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результа-
те итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до полу-
чения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения линейных
систем с использованием итерационных методов обычно более сложные
по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений трудно опреде-
лить заранее. Методы требуют хранения в памяти машины не всей мат-
рицы системы, а лишь нескольких векторов с
n
компонентами. Иногда
компоненты матрицы можно совсем не хранить, а вычислять их по мере
необходимости. Погрешности окончательных результатов не накапли-
ваются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяет-
ся лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит
от ранее выполненных вычислений. Эти достоинства итерационных ме-
тодов делают их особенно полезными в случае большого числа уравне-
ний, однако, сходимость итераций может быть медленной.
Итерационные методы могут использоваться для уточнения реше-
ний, полученных с помощью прямых методов. Такие смешанные алго-
ритмы обычно довольно эффективны.
. Метод Гаусса
Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному
виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из
уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключает-
ся
1
x
из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью вто-
рого уравнения исключается
2
x
из третьего и всех последующих уравне-
ний. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продол-
жается до тех пор, пока в левой части последнего (
n
–го) уравнения не
останется лишь один член с неизвестным
n
x
, т. е. матрица системы бу-
дет приведена к треугольному виду.

Страницы