Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Исключим
1
x
из второго и третьего уравнений. Для этого сначала
умножим первое уравнение на коэффициент
0.3
, и результат прибавим
ко второму уравнению, а затем умножим первое же уравнение на
0.5
−
и
результат прибавим к третьему уравнению. Получим
1 2 3
2 3
2 3
10 7 0 7.0,
0.1 6 6.1,
2.5 5 2.5.
x x x
x x
x x
− + =
− + =
+ =
Умножим второе уравнение на коэффициент
25
и результат сло-
жим с третьим уравнением. Получим систему в треугольном виде:
1 2 3
2 3
3
10 7 0 7.0,
0.1 6 6.1,
155 155.
x x x
x x
x
− + =
− + =
=
На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.
Обратный ход состоит в последовательном вычислении
3 2 1
, ,x x x
со-
ответственно из третьего, второго, первого уравнений. Проведем эти
вычисления:
3
2
3 2 1
6 6.1
7 7155
1, 1, 0.
155 0.1 10
x
x
x x x
−
+
= = = = − = =
Подстановкой в исходную систему легко убедиться, что (
) и есть
ее решение.
Существует две величины, характеризующие степень отклонения
полученного решения от точного решения. Одна из них – погрешность
x
∆
, равная разности этих значений; другая величина – невязка
r
, равная
разности между левой и правой частями уравнений при подстановке в
них решения. Если одна из величин равна нулю, то и другая должна
равняться нулю. Однако из малости одной не следует малость другой
величины. При
0x
∆ ≈
обычно
0r
≈
, но обратное утверждение спра-
ведливо не всегда.
В практических расчетах контроль точности решения осуще-
ствляется с помощью невязки (погрешность же обычно вычислить не-
возможно, поскольку неизвестно точное решение). Метод Гаусса с вы-
бором главного элемента дает малые невязки. Понятия погрешности и
невязки используются при численном решении не только линейных
уравнений.

Страницы