Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

от абсолютной величины производной
( )x
ϕ
. Чем меньше
'
( )x
ϕ
вблизи
корня
*
x
, тем быстрее сходится процесс.
Установим критерий сходимости математически. Будем считать,
что в итерационной формуле (3.8)
* *
1 1
,
k k k k
x x x x
ε ε
+ +
= + = +
,
где
k
ε
и
1k
ε
+
– отклонения
k
и
1k
+
приближения от корня. Если процесс
уточнения осуществляется вблизи корня
*
x
, то функцию
( )x
ϕ
можно
приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итераци-
онная формула (3.8) примет вид
* * ' *
1
( ) ( )
k k
x x x
ε ϕ ε ϕ
+
+ + Ч
;
,
но так как
*
x
является корнем уравнения, то
и, следовательно,
*
1
( )
k k
x
ε ε ϕ
+
= Ч
.
Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходи-
мо выполнить условие
1k
ε
+
<
k
ε
или
'
( )x
ϕ
<
1
. (3.9)
Переход от уравнения (3.1) к уравнению (3.7) можно осуществить
различными способами в зависимости от вида функции
( )f x
. При таком
переходе необходимо построить функцию
( )x
ϕ
так, чтобы выполнялось
условие сходимости (3.9).
Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (3.1)
к уравнению (3.8). Умножим левую и правую части уравнения (3.1) на
произвольную константу
b
и добавим к обеим частям неизвестное
x
.
При этом корни исходного уравнения не изменятся
( ) 0x b f x x b
+ = +Ч Ч
. (3.10)
Введем обозначение
( ) ( )x x b f x
ϕ
= + Ч
(3.11)
и перейдем от соотношения (3.10) к уравнению (3.7).
Произвольный выбор константы
b
позволит обеспечить выполне-
ние условия сходимости (3.9). Желательно выбрать величину
b
такой,
чтобы
1
−
<
'
( )x
ϕ
<
0
, тогда сходимость итерационного процесса будет
двухсторонней (рис. 3.7, в). В этом случае в наиболее простом виде
можно представить критерий окончания итерационного процесса
1k k
x x
+
−
<
ε
, (3.12)
где
ε
– заданная абсолютная погрешность вычисления корня.
Если функция
( )x
ϕ
выбрана в виде (3.11), то производная по
x
от
этой функции будет

Страницы