Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Свободными параметрами интерполяции
i
c
являются коэффициенты по-
линома (4.2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуще-
ствами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и
интегрирования.
Коэффициенты
i
c
определим из условия Лагранжа
( ) , 0
n i i
p x f i n
= Ј Ј
2
0 1 0 2 0 0 0
2
0 1 1 2 1 1 1
2
0 1 2
... ,
... ,
.....................................................,
... .
n
n
n
n
n
n n n n n
c c x c x c x f
c c x c x c x f
c c x c x c x f
+ + + + =Ч Ч Ч
+ + + + =Ч Ч Ч
+ + + + =Ч Ч Ч
(4.3)
Система линейных алгебраических уравнений (4.3) имеет решение
относительно свободных параметров
i
c
, так как определитель системы
отличен от нуля, если среди узлов
i
x
нет совпадающих. Определитель
системы (4.3) называется определителем Вандермонда и имеет аналити-
ческое выражение.
4.3. Интерполяционный полином Лагранжа
Пусть задано
1n
+
значение функции
( )f x
в узлах
i
x
. Лагранж
предложил следующую форму интерполяционного полинома:
0 1 1 1
0
0 1 1 1
( )( )...( )( )...( )
( )
( )( )...( )( )...( )
n
i i n
n i
i
i i i i i i i n
x x x x x x x x x x
p x f
x x x x x x x x x x
− +
=
− +
− − − − −
=
− − − − −
е
. (4.4)
Старшая степень аргумента
x
в полиноме Лагранжа равна
n
, так
как каждое произведение в формуле (4.4) содержит
n
сомножителей
. В узлах
i
x x
=
выполняются условия Лагранжа, в сумме (4.4)
остается по одному слагаемому
i
f
, остальные обращаются в нуль за
счет нулевых сомножителей в произведениях.
В отличие от канонического интерполяционного полинома для вы-
числения значений полинома Лагранжа не требуется предварительного
определения коэффициентов полинома путем решения системы уравне-
ний. Однако для каждого значения аргумента
x
полином (4.4) прихо-
дится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома
вычисляются только один раз. С известными коэффициентами для вы-
числения значений канонического полинома требуется значительно
меньшее количество арифметических операций по сравнению с полино-
мом Лагранжа. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа
оправдано только в случае, когда интерполяционная функция вычисля-
ется в сравнительно небольшом количестве точек
x
.

Страницы