Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Эти методы основаны на повторном применении простой интерпо-
ляционной схемы. Наиболее известным из них является метод Эйткена,
сущность которого в повторном применении линейной интерполяции.
Линейная интерполяция между точками (
0 0
,x y
) и (
,
i i
x y
) осуще-
ствляется по формуле
[ ]
1 0 0
0
1
( ) ( ) ( ) ,
i i i
i
y x y x x y x x
x x
= − − −
−
с помощью которой, задав значение
i
x
, можно составить таблицу функ-
ций
1
( )
i
y x
, где
1, 2,..., .i n
=
Пользуясь этими функциями, с помощью ли-
нейной интерполяции
[ ]
2 11 1 1
1
1
( ) ( )( ) ( )( )
i i i
i
y x y x x x y x x x
x x
= − − −
−
получим новое семейство соотношений. Простой подстановкой можно
показать, что выражения для
2
( )
i
y x
представляют собой многочлены
второй степени, описывающие кривые, проходящие через точки (
0 0
,x y
),
(
1 1
,x y
) и (
,
i i
x y
). Получив многочлены
с помощью линейной интерпо-
ляции и используя функции
2
( )
i
y x
, можно записать выражение для
многочлена третьей степени
[ ]
3 22 2 2
2
1
( ) ( )( ) ( )( )
i i i
i
y x y x x x y x x x
x x
= − − −
−
,
описывающего кривые, проходящие через точки (
0 0
,x y
), (
1 1
,x y
), (
2 2
,x y
) и
(
,
i i
x y
). Продолжая этот процесс, можно получить значения
( )
ij
y x
, кото-
рые будут стремиться к значению
( )f x
. Хотя в принципе этот метод
позволяет вводить многочлены степени
n
>3, обычно этого не делают,
стремясь избежать роста ошибок. Следует отметить, что метод Эйткена
не требует, чтобы используемые для интерполяции значения функции
были расположены через равные интервалы.
4.8. Пример 5
Имеется таблица данных [значения функции
( )y Sin x
=
], требуется
найти
y
при
23x
=
с помощью многократного применения линейной ин-
терполяции. По приведенной методике выполняются расчеты, и состав-
ляется таблица результатов. Видно, что по мере выполнения вычисле-
ний значения
(23)y
стремятся к истинному значению, равному 0,39073.
[ ]
11
1
( ) 0,17365(20 23) 0,34202(10 23) 0,392531.
20 10
y x
= − − − =
−
[ ]
21
1
( ) 0,17365(30 23) 0,5(10 23) 0,3857775.
30 10
y x
= − − − =
−

Страницы