Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

i
, .
i
xград
i
y
1i
y
2i
y
3i
y
0 10 0.17365 ---
1 20 0.34202 0.39253 ---
2 30 0.50000 0.38578 0.39051 ---
3 40 0.64279 0.37694 0.39019 0.39073
4 50 0.76604 0.36618 0.38990 0.39072
5 60 0.86603 0.35367 0.38962 0.39072
4.9. Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные
результаты при аппроксимации зависимостей. Несмотря на выполнение
условий Лагранжа в узлах, интерполяционная функция может иметь
значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами.
При этом повышение степени интерполяционного полинома приводит
не к уменьшению, а к увеличению погрешности.
Для проведения гладких кривых через узловые значения функции
чертежники используют упругую металлическую линейку, совмещая ее
с узловыми точками. Математическая теория подобной аппроксимации
называется теорией сплайн-функций. Разработано обширное программ-
ное обеспечение для практического применения сплайнов в различных
областях науки и техники.
Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интер-
поляции кубическими сплайнами. Используя законы упругости, можно
установить, что недеформируемая линейка между соседними узлами
проходит по линии, удовлетворяющей уравнению
( )
( ) 0
IV
x
ϕ
=
. (4.5)
Функцию
( )x
ϕ
будем использовать для аппроксимации зависимости
( )f x
, заданной в узлах
значениями
0 1
, ,...,
n
f f f
.
Если в качестве функции
( )x
ϕ
выбрать полином, то в соответствии
с уравнением (4.5) степень полинома должна быть не выше третьей.
Этот полином называют кубическим сплайном, который на интервале
[ ]
1
,
i i
x x x
−
О
записывают в виде
2 3
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i
x a b x x c x x d x x
ϕ
− − −
= + − + − + −
, (4.6)
где
, , ,
i i i i
a b c d
- коэффициенты сплайна, определяемые из дополнитель-
ных условий;
1, 2,...,i n
=
– номер сплайна.
В отличие от полиномиальной интерполяции, когда вся аппрокси-
мируемая зависимость описывается одним полиномом, при сплайновой

Страницы