Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим узлы исходной таблицы данных через
i
x
, где
0 i n
Ј Ј
.
n
– номер узла. Считаем известными значения экспериментальных дан-
ных в узловых точках
( )
i i
f x f
=
. Введем непрерывную функцию
( )x
ϕ
для
аппроксимации дискретной зависимости
( )
i
f x
. В узлах функции
( )x
ϕ
и
( )f x
будут отличаться на величину
( ) ( )
i i i
x f x
ε ϕ
= −
. Отклонения
i
ε
могут
принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учиты-
вать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем
квадраты отклонений по всем узлам
(5.1)
Метод построения аппроксимирующей функции
( )x
ϕ
из условия
минимума величины
Q
называется методом наименьших квадратов.
Наиболее распространен способ выбора функции
( )x
ϕ
в виде ли-
нейной комбинации.
0 0 1 1
( ) ( ) ( ) ... ( ),
m m
x c x c x c x
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +Ч Ч Ч
(5.2)
где
0 1
( ), ( ),..., ( )
m
x x x
ϕ ϕ ϕ
– базисные функции;
;m n
Ј
0 1
, ,...,
m
c c c
– коэффи-
циенты, определяемые при минимизации величины
Q
.
Математически условия минимума суммы квадратов отклонений
Q
запишем, приравнивая нулю частные производные от
Q
по коэффици-
ентам
, 0 :
k
c k m
Ј Ј
[ ]
0 0 1 1 0
0
0
2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0,
n
i i m m i i i
i
Q
c x c x c x f x
c
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
∂
= + + + − =Ч Ч Ч Ч
∂
е
[ ]
0 0 1 1 1
0
1
2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0,
n
i i m m i i i
i
Q
c x c x c x f x
c
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
∂
= + + + − =Ч Ч Ч Ч
∂
е
.…………………..…………………………………...,
[ ]
0 0 1 1
0
2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0.
n
i i m m i i m i
i
m
Q
c x c x c x f x
c
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
∂
= + + + − =Ч Ч Ч Ч
∂
е
(5.3)
Из системы линейных алгебраических уравнений (5.3) определяют-
ся все коэффициенты
k
c
. Система (5.3) называется системой нормаль-
ных уравнений. Матрица этой системы имеет вид:
0 0 0 1 0
0 1 1 1 1
0 1
( , ) ( , ) ... ( , )
( , ) ( , ) ... ( , )
............. ............. ... ...........
( , ) ( , ) ... ( , )
m
m
m m m m
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
(5.4)

Страницы