Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

и называется матрицей Грамма. Элементы матрицы Грамма являются
скалярными произведениями базисных функций
0
( , ) ( ) ( ).
n
j k j i k i
i
x x
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
=
е
(5.5)
Расширенная матрица системы уравнений (5.3) получится добавле-
нием справа к матрице Грамма столбца свободных членов
0
1
( , )
( , )
,
..............
( , )
m
f
f
f
ϕ
ϕ
ϕ
(5.6)
где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, опреде-
ляются аналогично (5.5)
0
( , ) ( ) .
n
k k i i
i
f x f
ϕ ϕ
=
=
е
(5.7)
Отметим основные свойства матрицы Грамма, полезные при про-
граммной реализации алгоритмов метода наименьших квадратов:
1) матрица симметрична, т.е.
,
ij ji
a a
=
что позволяет сократить объем
вычислений при заполнении матрицы;
2) матрица является положительно определенной, следовательно,
при решении системы нормальных уравнений методом исключения
Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента;
3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве
базиса выбраны линейно независимые функции
( ),
k
x
ϕ
при этом система
(5.3) имеет единственное решение.
При обработке экспериментальных данных, определенных с по-
грешностью
ε
в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксима-
ции функцией
( ),x
ϕ
представимой одной или двумя базисными функци-
ями. После определения коэффициентов
k
c
вычисляют величину
по
формуле (5.1). Если получится, что
Q
>
,
ε
то необходимо расширить
базис добавлением новых функций
( ).
k
x
ϕ
Расширение базиса необходи-
мо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие
Q
≈
Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппрок-
симируемой функции
( ),f x
таких, как периодичность, экспоненциаль-
ный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие
асимптотики и т.д. [8].

Страницы