Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Лучшие результаты может дать использование классических орто-
гональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и других в
качестве базисных функций. Свойство ортогональности классических
полиномов заключается в том, что для каждого типа полиномов суще-
ствует отрезок
[ ]
0
,
n
x x
, на котором обращаются в нуль скалярные произ-
ведения полиномов разного порядка с весовой функцией
( )x
ρ
0
( ) ( ) ( ) 0, .
n
x
j k
x
x x x dx j k
ρ ϕ ϕ
= №
т
(5.10)
В случае большого количества узлов
i
x
на отрезке
[ ]
0
,
n
x x
скалярные
произведения (5.10) будут близки к дискретным скалярным произведе-
ниям (5.5), так как интегрирование можно приближенно заменить сум-
мированием. Значит, недиагональные элементы матрицы Грамма станут
иметь небольшую абсолютную величину, что позволит уменьшить по-
грешность решения системы нормальных уравнений.
Заданный интервал
' '
0
,
n
x x
й щ
л ы
, в котором расположены все узлы ап-
проксимируемой функции, с помощью линейного преобразования все-
гда можно привести к отрезку
[ ]
0
, ,
n
x x
где определены и ортогональные
базисные функции
( ).
k
x
ϕ
Для наиболее гладкого представления функций (с минимальным
числом и амплитудой выбросов) выбираются полиномы Чебышева
( ),
n
T x
которые определены и ортогональны в интервале
с весовой
функцией
1/ 2
(1 ) .x
−
−
Значения полиномов Чебышева определяются по ре-
куррентной формуле
1 1
( ) 2 ( ) ( ),
k k k
T x x T x T x
+ −
= −Ч Ч
(5.11)
где
0 1
( ) 1, ( ) .T x T x x
= =
Нетрудно убедиться, что в каждом из полиномов
1
( ),
k
T x
+
определен-
ном по формуле (5.11), при старших степенях
x
будет присутствовать
коэффициент
2
k
. Последнее обстоятельство не всегда удобно при оцен-
ках вклада в аппроксимационную функцию
( )x
ϕ
(5.2) старших степеней
x
по величине коэффициентов
k
c
.
Полиномы Чебышева можно ввести и по другой рекуррентной фор-
муле
* * *
1 1
1
( ) ( ) ( ),
4
k k k
T x x T x T x
+ −
= −Ч
(5.12)
где
* *
0 1
( ) 1, .T x T x
= =
Особенностью такой формы полиномов Чебышева является отсут-
ствие коэффициентов у высших степеней
x
в каждом из полиномов.
Недостатком полиномов
*
( )
k
T x
считают наличие дробного множителя ¼

Страницы