Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

в рекуррентной формуле (5.12). Однако это обстоятельство существенно
только при ручных вычислениях.
Полиномы
*
( )
k
T x
ортогональны на отрезке
[ ]
1, 1
−
с такой же весо-
вой функцией, что и полиномы
( ).
k
T x
Единичную весовую функцию на отрезке
[ ]
1, 1
−
имеют полиномы
Лежандра, определяемые по рекуррентной формуле
[ ]
1 1
( ) (2 1) ( ) ( ) /( 1),
k k k
L x k x L x kL x k
+ −
= + + +Ч Ч
(5.13)
где
0 1
( ) 1, ( ) .L x L x x
= =
Возможен выбор базиса в виде ортогональных полиномов дискрет-
ной переменной. Построим систему базисных функций
( )
k
x
ϕ
так, чтобы
обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве
узловых точек (5.5), тогда матрица Грамма (5.4) будет диагональной,
что позволит отказаться от использования процедур численного реше-
ния системы нормальных уравнений.
В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых
данных можно построить полиномы дискретной переменной, ортого-
нальные с соответствующими дискретными весовыми функциями
( ).
i
x
ρ
Из классических ортогональных полиномов дискретной переменной из-
вестны полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье
[ ]
9 .
Рассмотрим алгоритм построения полиномов Чебышева
( )
k
t x
дис-
кретной переменной. Полином нулевой степени выберем единичным
0
( ) 1,t x
=
(5.14)
а полином первой степени возьмем в виде
(5.15)
где коэффициент
1
a
определим из условия ортогональности
0 1
( , ) 0.t t
=
(5.16)
Запишем условие (5.16) в развернутом виде
1 1
0 0 0
1( ) 1 0,
n n n
i k
i i i
x a x a
= = =
− = − =
е е е
откуда получим
1
0
/( 1).
n
i
i
a x n
=
= +
е
(5.17)
Полином второй степени также представим в общем виде с неопре-
деленными коэффициентами
21
a
и
20
a
:
2
2 21 20
( ) ,t x x a x a
= + +
которые найдем из двух условий ортогональности:
0 2 1 2
( , ) 0, ( , ) 0.t t t t
= =

Страницы