Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

При степенном базисе базисные функции
( )
k
x
ϕ
выбираются в виде
последовательности степеней аргумента
x
. Базисные функции линейно
независимы,
0 1
0 1
( ) 1, ( ) ,..., ( ) .
m
m
x x x x x x x
ϕ ϕ ϕ
= = = = =
(5.8)
В этом случае так же, как и при интерполяции, экспериментальную
зависимость аппроксимируют полиномом. Однако степень полинома
m
выбирается обычно
m n
=
(при лагранжевой интерполяции
m n
=
). Ап-
проксимирующая кривая в методе наименьших квадратов не проходит
через значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наи-
меньшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные
данные «сглаживаются» с помощью функции
( ).x
ϕ
Если же выбрать
,m n
=
то на основании единственности интерполяционного полинома
получим функцию
( ),x
ϕ
совпадающую с каноническим интерполяцион-
ным полиномом степени
,n
аппроксимирующая кривая пройдет через
все экспериментальные точки и величина
Q
будет равна нулю. Послед-
нее обстоятельство используется для отладки и тестирования программ,
реализующих алгоритмы метода наименьших квадратов.
Запишем расширенную матрицу системы нормальных уравнений
для базиса (5.8):
(5.9)
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы
(5.9) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух по-
следних столбцов, остальные элементы не являются «оригинальными» и
заполняются с помощью циклического присвоения.
Возможен выбор базиса в виде классических ортогональных поли-
номов. Выбор базисных функций
( )
k
x
ϕ
в виде степеней
x
(5.8) не яв-
ляется оптимальным с точки зрения решения системы нормальных
уравнений с наименьшими погрешностями. Приемлемые результаты в
этом случае можно получить, если набор экспериментальных данных с
удовлетворительной погрешностью удается аппроксимировать полино-
мом невысокой степени
( 4 5).m
−Ј

Страницы