Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1 1 1
2 2 2
,
,
..........................,
,
n n n
bx a y
bx a y
bx a y
ε
ε
ε
+ − =
+ − =
+ − =
(5.27)
где
1 2
, , ...,
n
ε ε ε
- некоторые числа, вообще говоря, не равные нулю, кото-
рые будем называть погрешностями.
Требуется подобрать коэффициенты
a
и
b
таким образом, чтобы
эти погрешности были по возможности малыми по абсолютной величи-
не. Способ наименьших квадратов состоит в следующем: нужно подо-
брать коэффициенты
a
и
b
так, чтобы сумма квадратов погрешностей
была, возможно, меньшей, т.е. потребуем, чтобы сумма
2 2 2
1 2
...
n
u
ε ε ε
= + + +
(5.28)
была наименьшей. Если эта сумма квадратов окажется малой, то тогда и
сами погрешности будут малыми по абсолютной величине.
Заменяя в выражении (5.28) погрешности их значениями из ра-
венств (5.27) , получим такую величину:
2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( ) .
n n
u bx a y bx a y bx a y
= + − + + − + + + −
(5.29)
В формуле (5.29) числа
1 1 2 2
( , ), ( , ) ..., ( , )
n n
x y x y x y
получены в ре-
зультате измерений, и они рассматриваются как данные; коэффициенты
же
a
и
b
– неизвестные величины, подлежащие определению.
Итак,
u
можно рассматривать как функцию от двух переменных
a
и
b
. Подберем коэффициенты
a
и
b
так, чтобы функция
u
получила бы
возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы соблюда-
лись условия
0, 0.
u u
b a
∂ ∂
= =
∂ ∂
Беря эти частные производные, и для удобства выкладок снабжая
их коэффициентом ½, будем иметь
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( ) ... ( ) ,
2
1
( ) ( ) ... ( ).
2
n n n
n n
u
bx a y x bx a y x bx a y x
b
u
bx a y bx a y bx a y
a
∂
= + − + + − + + + −
∂
∂
= + − + + − + + + −
∂
Отсюда, приравнивая эти частные производные нулю, получим ли-
нейную систему двух уравнений с двумя неизвестными
a
и
b

Страницы