Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Используя метод наименьших квадратов, вывести эмпирическую
формулу для табличной функции
( )f x
, полагая, что функция
( )x
ϕ
яв-
ляется полиномом
n
– ой степени
2
0 1 2
( ) ... .
n
n
x a a x a x a x
ϕ
= + + + +
Составим сумму квадратов отклонений
( )x
ϕ
от
( )f x
2
2 2
0 1 2
1 1
( ) ( ... ) .
m m
n
i i i i n i
i i
u f x a a x a x a x
ε
= =
й щ
= = − + + + +
л ы
е е
Математически условия минимума суммы квадратов отклонений
u
запишем, приравнивая нулю частные производные по коэффициентам
2
0 1 2
1
0
2
0 1 2
1
1
2 ( ) ( ... ) 0;
2 ( ) ( ... ) ( ) 0;
.............................................................................................;
m
n
i i i n i
i
m
n
i i i n i i
i
u
f x a a x a x a x
a
u
f x a a x a x a x x
a
=
=
∂
й щ
= − + + + + =
л ы
∂
∂
й щ
= − + + + + − =Ч
л ы
∂
е
е
2
0 1 2
1
2 ( ) ( ... ) ( ) 0.
m
n n
i i i n i i
i
n
u
f x a a x a x a x x
a
=
∂
й щ
= − + + + + − =Ч
л ы
∂
е
В результате получаем уравнения
2
0 1 2
1 1 1 1
2 3 1
0 1 2
1 1 1 1 1
2 3 4 2 2
0 1 2
1 1 1 1 1
... ( );
... ( );
... ( );
......................
m m m m
n
i i n i i
i i i i
m m m m m
n
i i i n i i i
i i i i i
m m m m m
n
i i i n i i i
i i i i i
m a a x a x a x f x
a x a x a x a x x f x
a x a x a x a x x f x
= = = =
+
= = = = =
+
= = = = =
+ + + + =Ч
+ + + + =
+ + + + =
е е е е
е е е е е
е е е е е
....................................................................
Из уравнений можно определить значения коэффициентов
0 1 2
, , , ...,
n
a a a a
и далее пользоваться полиномом
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для ре-
зультатов измерений двух величин
x
и
y
x
7 12 17 22 27 32 37
y
83.7 72.9 63.2 54.7 47.5 41.4 36.3
Полагаем
2 0
.y ax bx cx
= + +

Страницы