Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Существует множество методов приближенного вычисления одно-
мерных интегралов. Сначала строятся простейшие формулы для при-
ближенного вычисления интегралов по отрезку [10]. Такие формулы на-
зываются квадратурными. В многомерном случае (когда размерность
интеграла больше единицы) формулы для приближенного вычисления
интеграла называют кубатурными. Повышение точности вычисления
интегралов осуществляется за счет повышения порядка точности квад-
ратур, за счет разбиения отрезка на части, за счет сведения интегралов
от функций с «особенностями» к интегралам от более гладких функций.
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении
значения определенного интеграла на основании ряда значений подын-
тегральной функции.
Ставится задача вычислить интеграл вида
( ) ,
b
a
J f x dx
=
т
(6.1)
где
a
и
b
– нижний и верхний пределы интегрирования;
( )f x
– непрерывная функция на отрезке
[ ]
, .a b
К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через
элементарные функции аналитически записать первообразную интегра-
ла (6.1) или когда подобная запись имеет сложный вид.
Сущность большинства методов вычисления определенных инте-
гралов состоит в замене подынтегральной функции
( )f x
аппроксимиру-
ющей функцией
( )x
ϕ
, для которой можно легко записать первообраз-
ную в элементарных функциях
( ) ( ) ,
b b
a a
f x dx x dx R S R
ϕ
= + = +
т т
(6.2)
где
S
– приближенное значение интеграла;
R
– погрешность вычисле-
ния интеграла.
Используемые на практике методы численного интегрирования
можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подын-
тегральной функции.
Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных
методов. Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной ап-
проксимации подынтегральной функции. Методы этого класса отлича-
ются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зави-
сит количество узлов, где необходимо вычислить функцию
( )f x
. Алго-
ритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.
Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтеграль-
ной функции сплайнами, представляющие собой кусочный полином.

Страницы