ВУЗ:
Составители:
щадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка инте-
грирования, а другая – аппроксимирующая константа. Отсюда происхо-
дит и название методов. Из методов прямоугольников наименьшую по-
грешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу бе-
рем равной значению
( )f x
в средней точке
i
x
−
интервала интегрирования
[ ]
1
,
i i
x x
−
(рис. 6.1).
Методы левых (рис. 6.2) и правых прямоугольников (рис. 6.3), за-
меняющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют сравни-
тельно высокую погрешность. Запишем выражение для интеграла на ин-
тервале
[ ]
,
i i
x x h
+
, полученное методом средних прямоугольников,
Рис. 6.1. Метод средних прямоугольников
( ) ( ) ,
i
i
x h
x
f x dx hf x R
+
−
= +
т
(6.3)
где
/ 2, ,
iточн прибл
x x h R J J
−
= + = −
и оценим погрешность
R
. Для этого раз-
ложим подынтегральную функцию
( )f x
в ряд Тейлора около средней
точки
x
−
2
' ''
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...,
2!
x x
f x f x x x f x f x
−
− − −
−
= + − + +
(6.4)
в малой окрестности точки
x
этот ряд с высокой точностью представ-
ляет функцию
( )f x
при небольшом количестве членов разложения.
Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции
( )f x
ее тейло-
ровское разложение (6.4) и интегрируя его почленно, можно вычислить
интеграл с любой наперед заданной точностью
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
