Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

знаменателе (6.10). Обычно для большинства функций выполняется не-
равенство
0 0
' ''
( ) ( )
n n
x x
x x
f x dx f x dx
і
т т
. (6.11)
Однако если подынтегральная функция
( )f x
определяется из экспе-
римента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников
применить нельзя из-за отсутствия значений
( )f x
в средних точках
.
i
x
В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньюто-
на-Котеса.
6.2. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену
Априорные оценки погрешностей (6.7) и (6.10) можно записать в
виде
0
,
p
R Ah
=
(6.12)
где
A
– коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида
подынтегральной функции;
h
– шаг интегрирования;
p
– порядок мето-
да. Зависимости (6.12) подчиняется главный член погрешности
большинства методов численного интегрирования. При численном диф-
ференцировании погрешность тоже может быть оценена с помощью
формулы (6.12), при этом порядок
p
зависит от количества узловых то-
чек.
Пусть вычисляется значение некоторой переменной
w
с шагом
,h
тогда
1
0( ),
p p
h
w w Ah h
+
= + +
(613)
где
h
w
– приближенное значение
– главный член погрешности;
1
0( )
p
h
+
– бесконечно малая величина порядка
1
.
p
h
+
Вычислим ту же самую переменную
w
с шагом
kh
1
( ) 0(( ) ),
p p
kh
w w A kh kh
+
= + +
(6.14)
где коэффициент пропорциональности
k
может быть как больше, так и
меньше единицы. Коэффициент
A
в выражениях (6.13) и (6.14) будет
одинаковым, так как вычисляется одна и та же переменная, одним и тем
же методом, а от величины шага
h
значение
A
не зависит.
Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые
части соотношений (6.13) и (6.14) с учетом формулы (6.12) и получим
0 0
,
p
h kh
w R w k R
+ = +
откуда найдем главный член погрешности
0
.
1
h kh
p
w w
R
k
−
=
−
(6.15)

Страницы