Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Формула (6.15) называется первой формулой Рунге и позволяет пу-
тем двойного просчета величины
w
с шагами
h
и
kh
оценить погреш-
ность. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она являет-
ся апостериорной. Формула (6.15) имеет большое практическое значе-
ние, так как позволяет провести оценку погрешности без изменения ал-
горитма используемого вычислительного процесса. При уменьшении
шага
h
главный член погрешности
0
R
будет стремиться к полной по-
грешности
.R
После определения
0
R
можно вычислить уточненное значение ис-
комой величины
0
,
уточн h
w w R
= +
(6.16)
последнее соотношение называют второй формулой Рунге. К сожале-
нию, погрешность уточненного значения остается неопределенной,
хотя, как правило, она меньше значения
0
.R
Формулы Рунге справедливы для всех вычислительных процессов,
для которых выполняется степенной закон (6.12). Для определения по-
рядка метода
p
необходимо проведение априорной оценки погрешно-
сти, что не всегда легко осуществить.
Английский математик Эйткен предложил способ оценки погреш-
ности для случая, когда порядок
p
метода неизвестен. Более того, алго-
ритм Эйткена позволяет опытным путем определить и порядок метода.
Для этого необходимо третий раз вычислить значение величины
w
с
шагом
2
k h
2
2
( )
p
k h
w w A k h
= +
или
(6.17)
Приравнивая правые части выражений (6.14) и (6.17), получим со-
отношение
2
0
( 1),
p p
kh
k h
w w R k k
− = −
подставляя в которое значение
0
R
из первой формулы Рунге (6.15),
найдем
2
.
kh
p
k h
h kh
w w
k
w w
−
=
−
(6.18)
Полученное соотношение (6.18) совместно с первой формулой Рун-
ге (6.15) позволяет оценить погрешность при использовании вычисли-
тельного метода с неизвестным порядком
.p
Более того, порядок
p
можно определить, логарифмируя левую и правую части формулы
(6.18),

Страницы