Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Подставляя произведение (6.23) в выражение (6.22), получим
[ ]
3 ''
( ) ( ) ( ) / 2 ( ) /12 ...
i
i
x h
i i i
x
f x dx h f x f x h h f x
+
= + + − +
т
Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном
интервале будет
3 ''
0
( ) /12.
i i
R h f x
= −
(6.24)
Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка
[ ]
0
,
n
x x
на несколько интервалов, то общую площадь получим суммированием
частных погрешностей (6.24)
0
2
''
0
( ) .
12
n
x
x
h
R f x dx
= −
т
(6.25)
Рис. 6.4. Метод трапеций
Получили, на первый взгляд, неожиданный результат, что метод
трапеций имеет погрешность в два раза больше по абсолютной величи-
не по сравнению с методом средних прямоугольников, хотя аппрокси-
мация подынтегральной функции проводилась полиномом первой, а не
нулевой степени. По-видимому, выбранный вариант аппроксимации
подынтегральной функции прямой, проходящей через ее значения на
границах, не является оптимальным. Задача выбора способа аппрокси-
мации полиномом заданной степени с наименьшей возможной погреш-
ностью была решена Гауссом, что привело к развитию целого класса
методов.
Как видно из выражения (6.25), метод трапеций, как и метод сред-
них прямоугольников, имеет второй порядок. Если подынтегральная
функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго

Страницы