Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй
формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапе-
ций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции
( )f x
на интервале
[ ]
0 2
,x x
с шагом
h
и
2h
по формуле трапеций (6.20).
0 1 1 2 0 1 2
2 0 2
( ) / 2 ( ) / 2 ( 2 ) / 2,
( ) .
h
h
J f f h f f h f f f h
J f f h
= + + + = + +
= +
(6.29)
Интегралы (6.29) подставим в формулы (6.15) и (6.16) и получим
уточненное значение интеграла
2 0 1 2
(4 ) / 3 ( 4 ) / 3,
уточн h h
J J J f f f h
= − = + +
которое совпадает с формулой Симпсона (6.28).
Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подынте-
гральную функцию
( )f x
в ряд Тейлора около точки
1
x
и проинтегриру-
ем разложение почленно в интервале
[ ]
0 2
,x x
2
0
3 5
'' 7
1 1 1
( ) 2 ( ) ( ) 0( ).
3 3 4 5
x
IV
x
h h
f x dx hf f x f x h
= + + +
Ч Ч
т
(6.30)
Суммируя разложения около точки
1
x
для функции
( )f x
в узлах
и
2
,x
получим, что
4
2 ''
1 0 1 2 1
( ) 2 ( ),
3 4
IV
h
h f x f f f f x
= − + −
Ч
тогда интеграл (5.30) примет вид
2
0
5
0 1 2 1
2
( ) ( 4 ) / 3 ( ) ...
180
x
IV
x
h
f x dx f f f h f x
= + + − +
т
(6.31)
Первое слагаемое в правой части формулы (6.31) совпадает с формулой
Симпсона, значит, второе слагаемое является главным членом погреш-
ности для интеграла на интервале
[ ]
0 2
,x x
5
0 1
2
( ).
180
IV
i
h
R f x
= −
(6.32)
Если интеграл вычисляется на интервале
[ ]
0
,
n
x x
путем разбиения
его на четное число подынтегралов
[ ]
1
,
i i
x x
−
, на каждой паре которых
применяется формула Симпсона для узлов
1 1
, , ,
i i i
x x x
− +
то полная погреш-
ность будет суммой правых частей соотношения (6.32). При малой ве-
личине шага
h
на основании метода средних прямоугольников получим
0
2 1
0
2 ( ) ( ) ,
n
x
n
IV IV
i
i
x
hf x f x dx
+
=
е
т
;
тогда полная погрешность запишется в виде

Страницы