Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

где
1 0
/ 2.h h
=
Сравнение формул (6.36) и (6.37) позволяет записать соотношение
между значениями
0
S
и
1
S
1 0 / 2 1
/ 2 ,
n
S S f h
= +
которое позволяет получать приближенное значение интеграла
1
S
с ша-
гом
1
,h
вычислив подынтегральную функцию только в одном дополни-
тельном узле
/ 2
.
n
x
Продолжая процесс уменьшения шага интегрирова-
ния вдвое, приходим к формуле (6.35), по которой каждое новое при-
ближенное значение интеграла (6.34) получаем, вычислив дополнитель-
но подынтегральную функцию только в
1
2
k
−
узле. Обращение же к под-
программе метода трапеций потребовало бы вычисления функции в
(2 1)
k
+
узле.
Аналогичным способом получены соотношения между двумя при-
ближенными значениями
k
S
и
1k
S
−
интеграла (6.34), вычисляемые по ме-
тоду Симпсона с шагами
k
h
и
1k
h
−
(6.38)
где
1
2
1 1,1 1,2 2 0 1
1
1 1 0 11 0 1 0
( ) / 2, 2 ( ),
/ 2, ( ) / 2, ( ) / 3.
k
k k k k k k
i
k k n
S S S S f x h ih
h h h x x S f f h
−
− − −
=
−
= + = − +
= = − = +
е
6.6. Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию
( )f x
так же, как и в методах Ньютона-
Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Од-
нако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения интер-
поляционного полинома выберем из условия обеспечения минимальной
погрешности интегрирования. Впервые задача построения квадратур-
ных формул подобного типа была решена Гауссом для интегралов вида
( ) ,
b
a
f x dx
т
(6.39)
а для интегралов
1
( ) ( )
b
a
J x f x dx
ρ
=
т
(6.40)
с произвольной весовой функцией
( )x
ρ
– Кристоффелем.
Для того чтобы узлы квадратурных формул не зависели от преде-
лов интегрирования, линейным преобразованием переменной
x
осуще-
ствляется переход к стандартным пределам интегрирования
[ ]
1,1 ,
−

Страницы