Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

, ,
2 2 2
b a a b b a
x t dx dt
− + −
= + =
(6.41)
где
t
– новая переменная.
Тогда интеграл (6.39) принимает вид
1 1
1 1
( ) ( ) .
2 2 2 2
b a b a a b b a
J f t dt t dt
ϕ
− −
− − + −
= + =
т т
(6.42)
Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа
(6.40) при
n
узлах содержит
2n
параметров
1
1
( ) ,
n
k k
n
J c f x R
=
= =
е
(6.43)
где
k
c
– весовые коэффициенты;
k
x
– узлы;
R
– погрешность квадрату-
ры. Полином степени
также имеет
2n
коэффициентов. Следова-
тельно, можно так подобрать параметры
k
c
и
k
x
, чтобы формула (6.43)
была точной, т.е.
0,R
=
для любого полинома степени не выше
2 1.n
−
При
1n
=
квадратура (6.43) будет точной для полиномов нулевой и
первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних пря-
моугольников, который и является простейшим из методов Гаусса-Кри-
стоффеля для весовой функции
( ) 1.x
ρ
=
В случае двух узловых точек
( 2)n
=
квадратура будет точной для
полиномов не выше третьей степени
(2 1 3).n
− =
Пусть подынтегральная
функция интеграла (6.42) представима полиномом с коэффициентами
k
a
2 3
0 1 2 3
( ) ,t a a t a t a t
ϕ
= + + +
(6.44)
тогда интеграл от полинома принимает значение
1
0 2
1
( ) 2( / 3).t dt a a
ϕ
−
= +
т
(6.45)
Рис. 6.6. Метод Гаусса при n=2

Страницы