Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах
0
t
и
1
t
со значениями подынтегральной функции
0
ϕ
и
1
ϕ
, будет иметь первую
степень (рис. 6.6).
1 0 01 0
( ) ( ),P t t t
ϕ ϕ
= + −
(6.46)
где
0 1
01
0 1
.
t t
ϕ ϕ
ϕ
−
=
−
Возьмем интеграл от полинома (6.46) и подставим в результат зна-
чения функции (6.44) в узлах
0
t
и
1
t
1
1 0 01 0 0 2 0 1 3 0 1 0 1
1
( ) 2( ) 2( ( )).P t t a a t t a t t t t
ϕ ϕ
−
= − = − − +
т
(6.47)
Сравнивая правые части выражений (6.45) и (6.47), получим систе-
му двух уравнений относительно узлов
0
t
и
1
t
0 1
0 1
1/ 3,
0,
t t
t t
= −
+ =
откуда получим
(6.48)
При таких узлах формула (6.43) с учетом соотношения (6.47) принимает
вид
0 1
( ( ) ( )),
2
b a
J t t
ϕ ϕ
−
= +
(6.49)
где
( ) ( ).
2 2
b a a b
t f t
ϕ
− +
= +
Узлы
0
t
и
1
t
являются корнями полиномов Лежандра второй степени.
Весовые коэффициенты
k
c
равны единице.
С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полино-
мов Лежандра степени
n
, а весовые коэффициенты
k
c
определяются че-
рез узлы
1
1,
1
( )( ) .
n
k i k i
i i k
c x x x x dx
= №
−
= − −
Х
т
Обычно в вычислительной практике весовые коэффициенты и узлы
задаются в виде констант из справочных таблиц.
Верхняя граница погрешности квадратурной формулы Гаусса оце-
нивается выражением
[ ]
2 (2 )
max
max ( ) ( ) ,
3 ,
2.5
n n
b a b a
R f x
n a b
n
− −
;
(6.50)
которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для инте-
грирования функций высокой гладкости.

Страницы