Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

0
4
0
( ) .
180
n
x
IV
x
h
R f x dx
= −
т
(6.33)
Формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень ма-
лым численным коэффициентом в остаточном члене. Формула Симпсо-
на позволяет получить высокую точность, если четвертая производная
подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае ме-
тоды второго порядка могут дать большую точность, чем метод
Симпсона.
6.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вы-
числить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор
необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуще-
ствляется автоматически. При этом, конечно, можно использовать
многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов
интегрирования, не изменяя алгоритмов самих методов. Однако для ме-
тодов, использующих равноотстоящие узлы, удается модифицировать
алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтеграль-
ной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных
при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования.
Так, два приближенных значения
k
S
и
1k
S
−
интеграла
0
( ) ,
n
x
x
f x dx
т
(6.34)
вычисляемые по методу трапеций с шагами
k
h
и
1k
h
−
, связаны соотноше-
нием
1
2
1 0
1
/ 2 ( (2 1) ),
k
k k k k
i
S S h f x i h
−
−
=
= + + −
е
(6.35)
где
1 0
/ 2 2 .
k
k k
h h h
−
−
= =
Формула (6.35) получена методом математической индукции. Если
выбрать начальный шаг интегрирования
то приближенное
значение интеграла (6.34) по методу трапеций запишется в виде
0 0 0
( ) / 2,
n
S f f h
= +
(6.36)
где
( ).
i i
f f x
=
При уменьшении шага
0
h
вдвое получим приближенное значение того
же интеграла
1 0 / 2 1
( 2 ) / 2,
n n
S f f f h
= + −
(6.37)

Страницы